Графическое представление плоского напряженного состояния круг напряжений. Основные уравнения теории предельного равновесия. Политические воззрения Т. Мора

Известным немецким ученым Мором был предложен графический метод определение напряжений σ α и τ α при заданных σ 1 ,σ 2 и α в случае плоского напряженного состояния.

Рис.18.1. Случай плоского напряженного состояния.

Для этого выбирается плоская система координат, при этом оси абсцисс соответствуют нормальные напряжения, а оси ординат – касательные напряжения

По оси абсцисс откладывают напряжения σ 1 =ОА и σ 2 =ОВ

На разнице отрезков ОА - ОВ = σ1 - σ2 , радиусом ВС = (σ1 - σ2)/2 строится круг. откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки угол 2α, получаем на круге точку D и опускаем из нее на ось абсцисс перпендикуляр – DK

Полученный отрезок ОК = σ α , а отрезок DК = τ α

Круги Мора позволяют анализировать все виды напряженного состояния тела.

Рис.18.2. Графическое определение напряжений. Круг Мора.

Задача.

Определить аналитически и с помощью круга Мора нормальное σα и касательное τα напряжения в сечении АВ, расположенном под углом β=60º к продольной оси. Стержень растягивается силой Р =20кН, площадь его поперечного сечения равна 200*200мм2, α = 90- β

Находим главное напряжение

т.к. рассматривается случай линейного напряженного состояния

Для графического определения напряжений выбираем систему координат σ – τ. По оси σ откладываем в выбранном масштабе напряжение σ 1 в виде отрезка ОМ, который делим пополам, и отрезком очерчиваем круг. Из точки М (полюс круга Мора) проводим прямую параллельную АВ или параллельную нормали к АВ. Получаем точку D пересечения прямой с кругом. Абсцисса ОD1 будет представлять σ α =37МПа, а ордината DD1 - τ α =21,5МПа.

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.

При исследовании деформаций в случае объемного напряженного состояния предполагается, что материал подчиняется закону Гука и что деформации малы.

Рассмотрим элемент, размеры граней которого равны а*в*с и по этим граням действуют главные напряжения σ 1 ,σ 2 ,σ 3.

Все напряжения считаем положительными. Вследствие деформации ребра элемента изменяют свою длину и становятся равными а+∆а, в+∆в, с+∆с. Отношения приращений длины ребер элементов к их первоначальной их длине дадут главные относительные удлинения в главных направлениях:

Под действием напряжения σ 1 ребро длиной а получит относительное удлинение

Напряжения σ 2 и σ 3 действуют поперек ребра а, поэтому они будут препятствовать его удлинению. Деформации, вызванные действием σ 2 , σ 3 в направлении ребра а будут равны.

Зависимость напряжений σ n и τ n , действующих на площадку с нормалью n, проходящую через рассматриваемую точку, можно представить наглядно графически при помощи круговой диаграммы Мора (кругов Мора).

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Заданы главные напряжения σ 1 и σ 2 (см. рис. 2) . Откладываются отрезки ОA=σ 1 и ОВ=σ 2 с учетом знаков (рис. 1). На отрезке АВ, как на диаметре, строится окружность. Из точки В проводится прямая под углом α к оси σ. Координаты точки D пересечения этой прямой с окружностью дают напряжения по наклонной площадке: ОЕ=σ n , ED=τ n .

Рисунок 1.

Заданы напряжения α х, σ y , τ ху (рис. 2). Откладываются отрезки ОЕ=σ х и OF=σ y с учетом знаков. Из точки Е (независимо от ее положения) откладывается отрезок ED=τ xy также с учетом знака. Из точки С, делящей отрезок EF пополам, как из центра строится окружность радиусом CD. Прямая BD определяет направление действия вектора главного напряжения σ 1 , а абсциссы точек пересечения окружности с осью σ дают величины главных напряжений: OА=σ 1 , ОВ=σ 2 .

Рисунок 2.

ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Строятся три полуокружности на отрезках, изображающих разности главных напряжений σ 1 -σ 3 , σ 2 -σ 3 , σ 1 -σ 2 , как на диаметрах (рис. 3). Напряжения σ n и τ n по наклонной площадке, нормаль к которой образует углы α, β и γ с направлениями трех главных напряжений, определяются путем следующего построения. Проводятся линии АЕ и BF соответственно под углами α и γ от вертикали. Через полученные точки пересечения Е и F проводятся дуги радиусами С 2 Е и C 1 F до пересечения в точке D, координаты которой и дают величины напряжений σ n и τ n . Точки, изображающие напряженные состояния по разным площадкам, не выходят из области, заключенной между тремя полуокружностями (заштрихована на рисунке).

Прямая задача Мора – это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям.

Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению σ 2 , выделим из этого объема треугольную призму:

Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы

Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы.

Для оси, касательной к наклонной площадке
:

Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на
, получим

,

. (2.2)

Для оси, нормальной к наклонной площадке
:

Проведем следующие преобразования:

и получим:

. (2.3)

Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3):

,

.

Суммируя попарно левые и правые части, получим:

.

Это уравнение в координатах    является уравнением окружности с центром в точке
,
и радиусом
:

Полученная окружность называется кругом напряжений иликругом Мора . Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами 1 и 3 .

Определим координаты точки D  :

, (2.5)

что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3).

Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом  к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2 , а ее координаты определяют напряжения на площадке  и  .

Задача.

В стержне с площадью поперечного сечения A = 5х10 4 м 2 , растягиваемом силойF = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под углом
к поперечному сечению стержня:

В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной:

,

остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние.

Найдем напряжения на наклонной площадке.

Вектор полного напряжения p , действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную  и касательную  , для определения величины которых воспользуемся кругом Мора.

Наносим в координатах    точки, соответствующие главным напряжениям
и
, и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора:

Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол  , получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5):

,
.

Обратная задача Мора

Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.

Задача.

Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:

Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент M x .

Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:

В данном случае имеется две равноопасные точки – B иC , в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точкеВ , выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряженийина его гранях.

Величины напряжений иможно определить по формулам:

,

.

Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):

Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки  и . На площадке действуют нормальное
и касательное напряжение
. На площадке действуют только касательное напряжение
(согласно закону парности касательных напряжений).

Порядок построения круга Мора :

Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:

Радиус круга Мора

,

тогда главные напряжения

,

.

Круг Мора - это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора . Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений .

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман . Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности , основанного на круговой диаграмме напряжений .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные . Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона , приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением . Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

  cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , sin 2 ⁡ θ = 1 − cos ⁡ 2 θ 2 , sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }

  Тогда можно получить

  σ n = 1 2 (σ x + σ y) + 1 2 (σ x − σ y) cos ⁡ 2 θ + τ x y sin ⁡ 2 θ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }

  Касательное напряжение также действует на площадке площадью d A {\displaystyle dA} . Из равенства проекций сил на ось τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} (ось y ′ {\displaystyle y"} ) получаем:

  ∑ F y ′ = τ n d A + σ x d A cos ⁡ θ sin ⁡ θ − σ y d A sin ⁡ θ cos ⁡ θ − τ x y d A cos 2 ⁡ θ + τ x y d A sin 2 ⁡ θ = 0 τ n = − (σ x − σ y) sin ⁡ θ cos ⁡ θ + τ x y (cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ) {\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{y"}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}

  Известно, что

  cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ , sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }

  Тогда можно получить

  τ n = − 1 2 (σ x − σ y) sin ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }

  Круговые диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. В системе координат τ n - σ n - три (полу)окружности, диаметр которых по оси абсцисс являются разностью главных нормальных напряжений σ 1 , σ 2 , σ 3 (рис.). Максимальная окружность радиусом (σ 1 -σ 3)/2 охватывает две внутренние окружности радиусами (σ 1 -σ 2)/2 и (σ 2 -σ 3)/2, касающихся в точке σ 2 . Координаты точек в пространстве между дугами этих окружностей - нормальные и касательные напряжения в произвольно ориентированных площадках. На осях окружностей находятся соответственно главные напряжения. Положение точки σ 2 определяется коэффициентом Лоде - Надаи. Аналогично кругам Мора в координатах γ - ε строят для исследования деформированного состояния, где R 1 = (ε 2 -ε 1)/2 = 0,5γ 23 , R 2 = (ε 1 -ε 3)/2 = 0,5γ 31 , R 3 = (ε 1 -ε 2)/2 = 0,5γ 12

  Круги Мора (круговая диаграмма напряжений)

  • - МОРА, или протос хронос - единица отсчета времени в стихе у античных теоретиков метрики...

    Литературная энциклопедия

  • - МОРА - у римлян, хронос протос у греков, матра у индусов - есть означение времени, потребного для того, чтобы пропеть краткий слог. Это была первичная единица квантитативного стиха, так сказать его атом....

    Словарь литературных терминов

  • - МО´РА - в древнелатинской метрике самое краткое время, необходимое для произнесения простого слога, состоящего из гласного звука или согласного с гласной...

    Поэтический словарь

  • - вид гидростатич. весов, рычажные весы с неравноплечным коромыслом для измерения плотности жидкостей и тв. тел методом гидростатического взвешивания. Сконструированы К. Ф. Мором в 1847...

    Естествознание. Энциклопедический словарь

  • - Хосе Мария Луис - мекс. политич. деятель, экономист и историк. Теолог и юрист по образованию, М. в 20-е гг. 19 в. занимался педагогич. и журналистской деятельностью...

    Советская историческая энциклопедия

  • - см. Мора зажим...

    Большой медицинский словарь

  • - самостоятельный отряд спартанской пехоты, в которой всех М. было 6. Каждая М. делилась на 2 лоха, каждый лох по 4 пентекостии, в свою очередь состоявшие из 2 эномотий...

    Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

  • - или хронос протос, в античном стихосложении нормальная продолжительность произнесения краткого слога, самая малая единица счёта времени в стихе...
  • - Мануэль, деятель коммунистического движения Коста-Рики. Родился в рабочей семье. По профессии адвокат. В 1920-30-е гг. руководил демократическим молодёжным и студенческим движением страны...

    Большая Советская энциклопедия

  • - рычажные весы с неравноплечным коромыслом, предназначенные для определения плотности жидкостей и твёрдых тел методом гидростатического взвешивания...

    Большая Советская энциклопедия

  • - В фонологии древнегреческого, японского, санскрита, латинского выделяют мору − ритмическую единицу, равную открытому слогу с краткой гласной...

    Грамматологический словарь

  • - м"...

    Русский орфографический словарь

  • - См....

    Пятиязычный словарь лингвистических терминов

  • - муж., вологод. момра, мрак, тьма, морок, сумрак, потемки...

    Толковый словарь Даля

  • - Ядрёна мора! Пск. Бран. Восклицание, выражающее раздражение, негодование. СПП 2001, 53...

    Большой словарь русских поговорок

  • - 1) отряды спартанской пехоты в 400 чел. 2) итальянская...

    Словарь иностранных слов русского языка

  "Круги мора" в книгах

  О СТИЛЕ ЙОКАИ МОРА

  Из книги История человеческой глупости автора Рат-Вег Иштван

  О СТИЛЕ ЙОКАИ МОРА В "Немзети уйшаг" за 1846 год на 254-й странице в статье театрального критика можно прочитать:"Даже дважды наново переиначенная народная драма некоего Мора Йокаи "Два опекуна" умерла неоплаканной на сцене Национального театра… Господи, прости родителю

  Спасение от мора

  Из книги Мифы и предания Древнего Рима автора Лазарчук Дина Андреевна

  Спасение от мора На восьмом году царствования Нумы Помпилия в Рим пришла страшная моровая болезнь, терзавшая к тому времени всю Италию. Страх охватил жителей города, и тогда Риму явилось божественное знамение. Говорят, что прямо в руки царю с неба опустился медный щит. По

  Бітва за Варажскае мора

  Из книги ДзесяцЬ Бітвау автора Чарняўскі Міхась

  Мара (маруха, мора)

  Из книги Славянские боги, духи, герои былин автора Крючкова Ольга Евгеньевна

  Мара (маруха, мора)

  Из книги Славянские боги, духи, герои былин. Иллюстрированная энциклопедия автора Крючкова Ольга Евгеньевна

  Мара (маруха, мора) Мара (маруха, мора) – в славянской мифологии злой дух в образе женщины, сначала считавшийся воплощением смерти и мора, но позже так стали называть всех злых и вредоносных духов.У северных славян считалось, что мара мрачное и злое привидение, которое днём

  Мора весы

  Из книги Большая энциклопедия техники автора Коллектив авторов

  Мора весы Мора весы – прибор, относящийся к виду гидростатических весов, представляющий собой рычажные весы, оснащенные неравноплечным коромыслом. Разработаны весы в 1847 г. немецким химиком К. Ф. Мором.При помощи весов Мора осуществляются измерение и определение

  Мара, маруха, мора

  Из книги Мифологический словарь автора Арчер Вадим

  Мара, маруха, мора (слав.) - злой дух, первоначально - воплощение смерти, мора, позднее так стали называть любых вредоносных духов. М. приписывалась способность к оборотничеству. Мара - имя чучела, сжигаемого на костре в ночь на Ивана

  Мора

  БСЭ

  Мора Вальверде Мануэль

  Из книги Большая Советская Энциклопедия (МО) автора БСЭ

  Мора весы

  Из книги Большая Советская Энциклопедия (МО) автора БСЭ

  47. Политические воззрения Т. Мора

  Из книги История политических и правовых учений. Шпаргалки автора Князева Светлана Александровна

  47. Политические воззрения Т. Мора Томас Мор (1478–1535), правовед по образованию, прославился как блестящий адвокат, был избран в парламент, затем занимал должность судьи, помощника шерифа г. Лондона и другие должности. В 1516 г. он опубликовал «Золотую книгу, столь же полезную,

  18 УТОПИЗМ Т. МОРА И Т. КАМПАНЕЛЛЫ

  Из книги История политических и правовых учений [Шпаргалка] автора Баталина В В

  18 УТОПИЗМ Т. МОРА И Т. КАМПАНЕЛЛЫ Томас Мор (1478–1535) – английский юрист, философ, политический деятель. Главное произведение: «Весьма полезная, а также и занимательная, поистине золотая книжица о наилучшем устройстве государства и о новом острове Утопия». Отсюда появление

  17. Утопизм Т. Мора и Т. Кампанеллы

  Из книги История правовых и политических учений. Шпаргалка автора Шумаева Ольга Леонидовна

  17. Утопизм Т. Мора и Т. Кампанеллы Томас Мор (1478–1535 гг.) – писатель социалистического направления, основным трудом которого является «Утопия» (1516 г.).Общество, согласно Т. Мору, является результатом заговора богачей. Государство же – их простое орудие. Они используют его в

  Поэзия Томаса Мора

  Из книги Поэзия Томаса Мора автора Шульц Юрий Францевич

  Поэзия Томаса Мора – Thomas More Epigrammata. The history of king Richard III Томас Мор Эпиграммы. История Ричарда III «Литературные памятники». М., «Наука», 1973 Издание подготовили: М. Л. Гаспаров, Е. В. Кузнецов, И. Н. Осиновский, Ю. Ф. Шульц Бычков М.Н. mailto:[email protected]– Великий английский гуманист, философ и

  Мора

  Из книги Хелависа и группа «Мельница». Не только песни [сборник] автора О`Шей Наталья Хелависа

  Мора Текст: Елена Косачева (припев из народной песни) Летят кони Стрибога - ветер в гриву, Перуна подкова - пропасть под молнией, Кони Даждьбога дождем резвятся, И конь коней - корона на небе. Жаркой волной - в глаза жрице, Железом каленым - жрице к запястьям, Звездами