Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:
S
h – высота пирамиды
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Ответ: 0,25
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
Высота равна трём.
Ответ: 3
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Следовательно:
Таким образом, объём пирамиды равен:
Ответ: 256
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
Ответ: 13
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
Таким образом:
Ответ: 27
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока .
Образовательная: Вывести формулу для вычисления объема пирамиды
Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.
Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.
Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, презентация “Объем пирамиды”.
1. Фронтальный опрос. Слайды 2, 3
Что называется пирамидой, основанием пирамиды, ребрами, высотой, осью, апофемой. Какая пирамида называется правильной, тетраэдром, усеченной пирамидой?
Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника , точки , не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков , соединяющих эту точку с точками многоугольника.
Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки , соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами . Высота пирамиды - перпендикуляр , опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник , а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.
2. Вывод формулы для вычисления объема пирамиды V=SH/3 Слайды 4, 5, 6
1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.
2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.
3. Эта призма составлена из трех пирамид:
1) данной пирамиды SABC.
2) пирамиды SCC 1 B 1 .
3) и пирамиды SCBB 1 .
4. У второй и третьей пирамид равные основания СС 1 В 1 и В 1 ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ 1 С 1 С. Поэтому у них равные объемы.
5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB 1 S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ 1 S. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.
Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.
1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9
По стороне основания? и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды, в основании которой лежит:
1) треугольник,
2) четырехугольник,
3) шестиугольник.
В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)
4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17
Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.
Тайна пирамид
Некоторые исследователи утверждают, что пирамида содержит в себе огромное количество информации о строении Вселенной, Солнечной системы и человека, закодированной в ее геометрической форме, а точнее, в форме октаэдра, половину которого и представляет пирамида. Пирамида вершиной вверх символизирует жизнь, вершиной вниз – смерть, потусторонний мир. Точно так же, как составные части Звезды Давида (Маген Давид), где треугольник, устремленный вверх, символизирует восхождение к Высшему Разуму, Богу, а треугольник, опущенный своей вершиной вниз, символизирует нисхождение души на Землю, материальное существование...
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.
Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.
Многие эзотерические источники утверждают, что человечество Земли уже четыре раза переживало всемирную катастрофу. Третья лемурианская раса знала Божественную науку о Вселенной, потом эту тайную доктрину передавали только посвященным. В начале циклов и полуциклов звездного года они строили пирамиды. Они вплотную подходили к открытию кода жизни. Цивилизации Атлантиды многое удавалось, но на каком-то уровне познания их остановила очередная планетарная катастрофа, сопровождавшаяся сменой рас. Вероятно, посвященные хотели передать нам, что в пирамидах заложено знание космических законов...
Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.
В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.
Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.
Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.
Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.
В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.
Косметические крема и мази улучшают свое действие.
Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.
В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.
По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.
Возможно, для многих это будет не актуально, но в маленькой пирамиде самозатачиваются старые бритвенные лезвия, а в большой пирамиде вода не замерзает при -40 градусах по Цельсию.
По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.
За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.
5. Подведение итогов урока.
Список используемой литературы.
1) http://schools.techno.ru
2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.
3) Энциклопедия “Древо познания” Маршалл К.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой .Еще такую пирамиду называют тетраэдром.
Правильная пирамида обладает множеством свойств, которые выводятся из составляющих ее фигур:
- Все стороны основания равны между собой, потому что оно представлено правильным треугольником;
- Все ребра пирамиды также равны между собой;
- Т.к. каждая грань образует равнобедренный треугольник, в котором ребра равны и основания равны, то можно сказать, что площадь каждой грани одинакова;
- Все двугранные углы при основании равны.
Рассчитывается, как сумма площадей основания и боковой развертки. Также ее можно найти, если рассчитать площадь одной из боковых граней и основания. Формула объема треугольной пирамиды также выводится из свойств треугольников, из которых она состоит:
Площадь основания рассчитывается из формулы :
Рассмотрим пример расчета объема треугольной пирамиды.
Пусть дана треугольная пирамида. Сторона основания равна a
= 2 см, а высота равна h
= 2√3. Найдите объем заданного многогранника.
Для начала найдем площадь основания. Для этого подставим известные данные в приведенную выше формулу:
Теперь используем найденное значение для расчета объема треугольной пирамиды:
Для расчета площади треугольной пирамиды можно также использовать сокращенную формулу. В ней совмещаются площадь основания и высота, а читается такая формула как треть произведения площади основания на высоту пирамиды:
Используя эту формулу, важно строго следить за подсчетами и сокращениями. Одна маленькая ошибка может привести к неверному результату. В целом, найти объем правильной треугольной пирамиды очень просто.
Пирамида - это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Все грани в свою очередь образуют треугольники, которые сходятся в одной вершине. Пирамиды бывают треугольными, четырехугольными и так далее. Для того чтобы определить, какая пирамида перед вами, достаточно посчитать количество углов в ее основании. Определение "высота пирамиды" очень часто встречается в задачах по геометрии в школьной программе. В статье попробуем рассмотреть разные способы ее нахождения.
Части пирамиды
Каждая пирамида состоит из следующих элементов:
- боковые грани, которые имеют по три угла и сходятся в вершине;
- апофема представляет собой высоту, которая опускается из ее вершины;
- вершина пирамиды - это точка, которая соединяет боковые ребра, но при этом не лежит в плоскости основания;
- основание - это многоугольник, на котором не лежит вершина;
- высота пирамиды представляет собой отрезок, который пересекает вершину пирамиды и образует с ее основанием прямой угол.
Как найти высоту пирамиды, если известен ее объем
Через формулу V = (S*h)/3 (в формуле V - объем, S - площадь основания, h - высота пирамиды) находим, что h = (3*V)/S. Для закрепления материала давайте сразу же решим задачу. В треугольной основания равна 50 см 2 , тогда как ее объем составляет 125 см 3 . Неизвестна высота треугольной пирамиды, которую нам и необходимо найти. Здесь все просто: вставляем данные в нашу формулу. Получаем h = (3*125)/50 = 7,5 см.
Как найти высоту пирамиды, если известна длина диагонали и ее ребра
Как мы помним, высота пирамиды образует с ее основанием прямой угол. А это значит что высота, ребро и половина диагонали вместе образуют Многие, конечно же, помнят теорему Пифагора. Зная два измерения, третью величину найти будет несложно. Вспомним известную теорему a² = b² + c², где а - гипотенуза, а в нашем случае ребро пирамиды; b - первый катет или половина диагонали и с - соответственно, второй катет, или высота пирамиды. Из этой формулы c² = a² - b².
Теперь задачка: в правильной пирамиде диагональ равна 20 см, когда как длина ребра - 30 см. Необходимо найти высоту. Решаем: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Отсюда с = √ 500 = около 22,4.
Как найти высоту усеченной пирамиды
Она представляет собой многоугольник, который имеет сечение параллельно ее основанию. Высота усеченной пирамиды - это отрезок, который соединяет два ее основания. Высоту можно найти у правильной пирамиды, если будут известны длины диагоналей обоих оснований, а также ребро пирамиды. Пусть диагональ большего основания равна d1, в то время как диагональ меньшего основания - d2, а ребро имеет длину - l. Чтобы найти высоту, можно с двух верхних противоположных точек диаграммы опустить высоты на ее основание. Мы видим, что у нас получились два прямоугольных треугольника, остается найти длины их катетов. Для этого из большей диагонали вычитаем меньшую и делим на 2. Так мы найдем один катет: а = (d1-d2)/2. После чего по теореме Пифагора нам остается лишь найти второй катет, который и является высотой пирамиды.
Теперь рассмотрим все это дело на практике. Перед нами задача. Усеченная пирамида имеет в основании квадрат, длина диагонали большего основания равняется 10 см, в то время как меньшего - 6 см, а ребро равняется 4 см. Требуется найти высоту. Для начала находим один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет равен 2 см, а гипотенуза - 4 см. Получается, что второй катет или высота будет равна 16-4 = 12, то есть h = √12 = около 3,5 см.