Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.
Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.
Элементы треугольной призмы
Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 являются основаниями призмы .
Четырехугольники A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA являются боковыми гранями призмы .
Стороны граней являются ребрами призмы (A 1 B 1 , A 1 C 1 , C 1 B 1 , AA 1 , CC 1 , BB 1 , AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).
Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.
Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.
— это сумма площадей четырехугольных граней призмы.
Виды треугольных призм
Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.
У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.
Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.
Объем призмы = площадь основания х высота
V=S осн. h
Площадь боковой поверхности призмы
Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота
S бок =P осн. h
Площадь полной поверхности призмы
Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.
так как S бок =P осн. h, то получим:
S полн.пов. =P осн. h+2S осн
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Свойства призмы :
Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.
Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.
Пример призмы
В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.
Задачи на расчет треугольной призмы
Задача 1
. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение:
Объем прямой призмы равен V = Sh, где S - площадь основания, а h - боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:
V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.
Задача 2.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
Решение:
Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S осн ·h.
Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .
Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.
Таким образом, искомый объём равен 20.
Во всех школах в старших классах проходят курс стереометрии, в котором рассматривают характеристики различных пространственных фигур. Данная статья посвящена изучению свойств одной из таких фигур. Рассмотрим, что такое правильная треугольная призма.
Призма в геометрии
Согласно стереометрическому является объемной фигурой, состоящей из n параллелограммов и двух одинаковых n-угольных оснований, где n - это целое положительное число. Оба основания расположены в параллельных плоскостях, а параллелограммы соединяют попарно их стороны в единую фигуру.
Любую призму можно получить следующим способом: следует взять плоский n-угольник и переместить его параллельно самому себе в другую плоскость. В процессе перемещения вершины n-угольника прочертят n отрезков, которые будут боковыми ребрами призмы.
Призмы могут быть выпуклыми и вогнутыми, прямыми и косоугольными, правильными и неправильными. Все эти виды фигур отличаются друг от друга формой n-угольников в основании, а также их расположением относительно перпендикулярного им отрезка, длина которого является высотой призмы. Ниже рисунок демонстрирует набор призм с разным числом углов в основании и количеством боковых граней.
Правильная треугольная призма
Первая призма на фотографии выше является правильной треугольной. Она состоит из двух одинаковых равносторонних треугольников и из трех прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому рассматриваемая фигура удовлетворяет изложенному ранее стереометрическому определению.
Помимо пяти граней, треугольная призма образована шестью вершинами, которые принадлежат обоим основаниям, и девятью ребрами, три из которых являются боковыми.
Важным свойством правильной треугольной призмы является то, что ее высота совпадает с длиной бокового ребра. Все эти ребра равны друг другу, а боковые прямоугольники пересекают основания под прямыми углами. Отметим, что прямые между основаниями и боковыми гранями приводят к тому, что параллелограммы наклонной призмы становятся прямоугольниками в прямой фигуре. Очевидно, что при определенных длинах ребер прямоугольники могут стать квадратами.
Важными свойствами любой объемной фигуры являются площадь ее поверхности и заключенный в ней объем пространства. Изучаемая призма не является исключением, поэтому рассмотрим ее подробные характеристики.
Площадь поверхности
Площадь правильной треугольной призмы образована площадями всех ее пяти граней. Известно, что площадь пространственных фигур проще рассматривать и изучать на плоскости, поэтому удобно сделать развертку призмы. Она показана ниже.
Развертка представлена пятью фигурами двух типов, которые в призме являлись гранями.
Для определения площади всех этих фигур введем следующие обозначения: будем считать длину стороны основания равной a, а высоту (длину бокового ребра) равной h. С учетом обозначений получаем площадь одного треугольника:
При записи этой формулы использовалось стандартное выражение для площади треугольника. Площадь одного прямоугольника равна:
С учетом числа треугольников и прямоугольников (см. развертку выше) получим формулу для площади полной поверхности изучаемой геометрической фигуры:
S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h
Здесь первый член в правой части равенства описывает площадь двух оснований, второй член позволяет вычислить площадь поверхности боковой.
Напомним, что полученная для S формула справедлива только для прямой правильной треугольной призмы. Если бы мы рассматривали наклонную фигуру, то выражение для S имело бы другой вид.
Формула для определения объема фигуры
Объемом любой пространственной фигуры называется та часть пространства, которую ограничивают грани многогранника. Объем любой призмы, независимо от формы ее основания и боковых сторон, может быть определен по следующей формуле:
То есть достаточно умножить площадь одного основания на высоту всей фигуры, чтобы получить искомое значение объема.
Для случая треугольной правильной призмы получаем следующее выражение для V:
V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h
Записанная формула для V, а также выражение для S в предыдущем пункте зависят всего от двух параметров фигуры: длин a и h. То есть знание всего двух любых линейных параметров позволяет рассчитать все свойства изучаемой призмы.
Решение задачи
В физике треугольная правильная призма, изготовленная из сплошного стекла, часто применяется для разложения электромагнитного потока в видимой области спектра на ряд частот с целью их изучения. Необходимо определить, какой объем стекла понадобится, чтобы изготовить призму с площадью поверхности 300 см 2 и длиной стороны основания 10 см.
Сначала определим высоту призмы h. Воспользуемся формулой для S, имеем:
S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>
h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 см
Поскольку мы знаем значения a и h, то для определения объема призмы воспользуемся формулой для V:
V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 см 3
Таким образом, чтобы изготовить описанную призму, понадобится около 308 см 3 стекла.
Геометрические фигуры в пространстве являются объектом изучения стереометрии, курс которой проходят школьники в старших классах. Данная статья посвящена такому совершенному многограннику, как призма. Рассмотрим подробнее свойства призмы и приведем формулы, которые служат для их количественного описания.
Что это - призма?
Каждый представляет, как выглядит параллелепипед или куб. Обе фигуры являются призмами. Однако, класс призм гораздо более разнообразен. В геометрии этой фигуре дается следующее определение: призмой является всякий многогранник в пространстве, который образован двумя параллельными и одинаковыми многоугольными сторонами и несколькими параллелограммами. Одинаковые параллельные грани фигуры называются ее основаниями (верхним и нижним). Параллелограммы же - это боковые грани фигуры, соединяющие стороны основания друг с другом.
Вам будет интересно:
Если основание представлено n-угольником, где n - целое число, тогда фигура будет состоять из 2+n граней, 2*n вершин и 3*n ребер. Грани и ребра относятся к одному из двух типов: либо они принадлежат боковой поверхности, либо основаниям. Что касается вершин, то все они являются равноправными и относятся к основаниям призмы.
Виды фигур изучаемого класса
Изучая свойства призмы, следует перечислить возможные виды этой фигуры:
- Выпуклые и вогнутые. Разница между ними заключается в форме многоугольного основания. Если оно является вогнутым, то таковой также будет объемная фигура, и наоборот.
- Прямые и наклонные. У прямой призмы боковые грани представлены либо прямоугольниками, либо квадратами. У наклонной фигуры боковые грани являются параллелограммами общего типа или ромбами.
- Неправильные и правильные. Чтобы изучаемая фигура была правильной, она должна быть прямой и иметь правильное основание. Примером последнего являются такие плоские фигуры, как равносторонний треугольник или квадрат.
Название призмы образуется с учетом перечисленной классификации. Например, упомянутый выше параллелепипед с прямыми углами или куб, называются правильной четырехугольной призмой. Правильные призмы, ввиду их высокой симметрии, удобно изучать. Их свойства выражаются в виде конкретных математических формул.
Площадь призмы
Когда рассматривают такое свойство призмы, как ее площадь, то имеют в виду суммарную площадь всех ее граней. Представить эту величину проще всего, если сделать развертку фигуры, то есть разложить все грани на одну плоскость. Ниже на рисунке показаны для примера развертки двух призм.
Для произвольной призмы формула площади ее развертки в общем виде может быть записана так:
S = 2*So + b*Psr.
Поясним обозначения. Величина So - это площадь одного основания, b - длина бокового ребра, Psr - периметр среза, который перпендикулярен боковым параллелограммам фигуры.
Записанной формулой часто пользуются для определения площадей наклонных призм. В случае правильной призмы выражение для S приобретет конкретный вид:
S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .
Первое слагаемое в выражении представляет площадь двух оснований правильной призмы, второе слагаемое - это площадь боковых прямоугольников. Здесь a - длина стороны правильного n-угольника. Отметим, что длина бокового ребра b для правильной призмы является также ее высотой h, поэтому в формуле b можно заменить на h.
Как вычислить объем фигуры?
Призма представляет собой сравнительной простой полиэдр с высокой симметрией. Поэтому для определения ее объема существует весьма простая формула. Она имеет следующий вид:
Вычислить площадь основания и высоту может быть сложно, если рассматривается наклонная неправильная фигура. Решается такая задача с помощью последовательного геометрического анализа с привлечением информации о двугранных углах между боковыми параллелограммами и основанием.
Если призма является правильной, тогда формула для V приобретает вполне конкретный вид:
V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.
Как видно, площадь S и объем V для правильной призмы определяются однозначно, если известны два ее линейных параметра.
Призма треугольная правильная
Завершим статью, рассмотрев свойства треугольной призмы правильной. Образована она пятью гранями, три из которых являются прямоугольниками (квадратами), и две - треугольниками равносторонними. Призма имеет шесть вершин и девять ребер. Для этой призмы формулы объема и площади поверхности записаны ниже:
S3 = √3/2*a2 + 3*h*a
V3 = √3/4*a2*h.
Помимо этих свойств, также полезно привести формулу для апофемы основания фигуры, которая представляет собой высоту ha равностороннего треугольника:
Боковые стороны призмы - это одинаковые прямоугольники. Длины их диагоналей d равны:
d = √(a2 + h2).
Знание геометрических свойств призмы треугольной представляет не только теоретический, но и практический интерес. Дело в том, что эту фигуру, изготовленную из оптического стекла, применяют для изучения спектра излучения тел.
Проходя через стеклянную призму, свет разлагается на ряд составляющих цветов в результате явления дисперсии, что создает условия для изучения спектрального состава электромагнитного потока.
Задача
Найти площадь правильной треугольной призмы , сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.Решение
.
Площадь правильного треугольника в основании призмы находится по формуле:
Принимаем во внимание первую формулу.
По условию задачи a = 6 см откуда S = √3 / 4 * 36 = 9√3
Поскольку у правильной треугольной призмы оснований два, то площадь оснований будет равна
9√3 * 2 = 18√3
Площадь каждой из граней будет равна 6 * 10 = 60, а поскольку граней три, то 60 * 3 = 180
Таким образом, площадь полной поверхности призмы будет равна 180 + 18√3 ≈ 211, 18 см кв.
Ответ : 180 + 18√3 ≈ 211,18
Задача
|
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а , боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем призмы . Решение . Поскольку призма треугольная, то боковых грани три, таким образом, площадь боковой поверхности можно найти по Формуле 1 Оснований у призмы два, поэтому их площадь равна двум площадям равностороннего треугольника со стороной а. Формула 2 По условию задачи они равны (Формула 3) Выразим из получившегося равенства высоту призмы (Формула 4) Подставим получившееся выражение в формулу объема призмы и найдем ответ (Формула 5) |
Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а , бічна поверхня рівновелика сумі підстав. Знайти об"єм призми . Рiшення . Оскільки призма трикутна, то бічних грані три, таким чином, площу бічної поверхні можна знайти по Формулі 1 Основ в призми двi, тому їх площа дорівнює двом площам рівностороннього трикутника із стороною а. Формула 2 По умові завдання вони рівні (Формула 3) Виразимо з рівності, що вийшла, висоту призми (Формула 4) Підставимо вираження, що вийшло, у формулу об"єму призми і знайдемо відповідь (Формула 5) |
Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.
При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Основные моменты, которые стоит запомнить
- Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
- Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.
Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.