Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений

На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики . Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике . Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.

Вспоминаем классику жанра:

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.

Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей . Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.

Разминаемся:

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.

В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их – всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:

– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.

в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.

Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы . И снова эпичная задача про лифт:

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности . Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!

Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.

а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение : вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и способами может упасть 2-я монета и … и способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

• понятие вероятности как величины шанса;
• математическое ожидание для дискретных случаев;
• теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

• закон больших чисел;
• теория цепей Маркова;
• центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

• Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
• А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
• В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
• В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!

Краткая теория

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности , статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.

Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

На соседней странице рассматривается .

Пример решения задачи

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение задачи

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Пусть событие – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

Общее число возможных исходов испытания

Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:

№

1-я кость

2-я кость

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Основы теории вероятности

План:

1. Случайные события

2. Классическое определение вероятности

3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика

4. Геометрическая вероятность

Теоретические сведения

Случайные события.

Случайное явление – явление, исход которого однозначно не определен. Это понятие можно трактовать в достаточно широком смысле. А, именно: все в природе достаточно случайно, появление и рождение любого индивидуума есть случайное явление, выбор товара в магазине также случайное явление, получение оценки на экзамене есть случайное явление, заболевание и выздоровление есть случайные явления и т.д.

Примеры случайных явлений:

~ Производится стрельба из орудия, установленным под заданным углом к горизонту. Попадание его в цель случайно, но попадание снаряда в некоторую "вилку", есть закономерность. Можно указать расстояние, ближе которого и дальше которого, снаряд не полетит. Получится некоторая "вилка рассеивания снарядов"

~ Одно и тоже тело взвешивается несколько раз. Строго говоря, каждый раз будут получаться разные результаты, пусть отличающиеся на ничтожно малую величину, но отличаться.

~ Самолет, летая по одному и тому же маршруту, имеет некоторый полетный коридор, в пределах которого может лавировать самолет, но никогда у него не будет строго одинакового маршрута

~ Спортсмен никогда не сможет пробежать одну и туже дистанцию с одинаковым временем. Его результаты также будут находиться в пределах некоторого численного промежутка.

Опыт, эксперимент, наблюдение являются испытаниями

Испытание – наблюдение или выполнение некоторого комплекса условий, выполняемых неоднократно, причем регулярно повторяющихся в оной и тоже последовательности, длительности, с соблюдением иных одинаковых параметров.

Рассмотрим выполнение спортсменом выстрела по мишени. Чтобы он был произведен, необходимо выполнить такие условия как изготовка спортсмена, зарядка оружия, прицеливание и т.д. "Попал" и "не попал" – события, как результат выстрела.

Событие – качественный результат испытания.

Событие может произойти или не произойти События обозначаются заглавными латинскими буквами. Например: D ="Стрелок попал в мишень". S="Вынут белый шар". K="Взятый наудачу лотерейный билет без выигрыша.".

Подбрасывание монеты – испытание. Падение ее "гербом" – одно событие, падение ее "цифрой" – второе событие.

Любое испытание предполагает наступления нескольких событий. Одни из них могут быть нужными в данный момент времени исследователю, другие – не нужными.

Событие называется случайным , если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальней­шем, вместо того чтобы говорить "совокупность условий S осуществлена", будем говорить кратко: "произведено испытание". Таким образом, событие будет рассматри­ваться как результат испытания.

~ Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре, области. Выстрел - это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие.

~ В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появле­ние шара определенного цвета - событие.

Виды случайных событий

1. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

~ Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События € появилась стандартная деталь" и с появилась не­стандартная деталь" - несовместные.

~ Брошена монета. Появление "герба" исключает по­явление надписи. События "появился герб" и "появилась надпись" - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

~ Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий:

1. "выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй",

2. "выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй",

3. "выигрыш выпал на оба билета",

4. "на оба билета выигрыш не выпал".

Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий,

~ Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события также образуют полную группу.

2. События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

~ Появление "герба" и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

~ Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предпо­лагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказы­вает влияния на выпадение любой грани.

3. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти

4. Событие называется не достоверным , если оно не может произойти.

5. Событие называются противоположным к некоторому событию, если оно состоит из не появления данного события. Противоположные события не совместимые, но одно из них должно обязательно произойти. Противоположные события принято обозначать как отрицания, т.е. над буквой пишется черточка. События противоположные: А и Ā; U и Ū и т.д. .

Классическое определение вероятности

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей.

Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди­наковых шаров, причем 2 - красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления - цветного шара).

Вероятность - число, характеризующее степень воз­можности появления события.

В рассматриваемой ситуации обозначим:

Событие А ="Вытаскивание цветного шара".

Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k 1 , k 2 .

В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со­бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­дов:

Таким образом, событие А наблюдается, если в испы­тании наступает один, безразлично какой, из элементар­ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук

В рассмат­риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)= 5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.

Определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:

m -число элементарных исходов, благоприятствую­щих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместные, равновозможные и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m = n следовательно, p=1

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей. 0т < n.

В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из­вестным вероятностям одних событий находить вероятно­сти других событий.

Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?

p дев = 6 / 10 =0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Понятие "вероятность" в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: w i (i=1, 2, .... п). События w i ,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). О тсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы­тия - точками этого пространства. .

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω , элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω - достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, "по каждое из них содержит только один элемент Ω

Каждому элементарному исходу w i ставят в соответствие поло­жительное число р i - вероятность этого исхода, причем сумма всех р i равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят­ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не­возможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и еди­ницей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз­можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Получено классическое определение вероятности.

Существует еще аксиоматический подход к понятию "вероятность". В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.