Что называют проекцией силы на ось. Книга: Техническая механика. ч.1. В какую сторону направлена реакция стержня с шарнирным крепление концов

Теоретический материал

Связь – это тело, препятствующее перемещению другого тела под действием силы.

Реакция связи – сила, возникающая внутри самой связи. Реакция всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Все тела могут быть свободными и несвободными. Свободное тело не имеет связи. Любое несвободное тело можно представить свободным, если действующие на него связи заменить реакциями.

Виды связей:

а) Гладкая поверхность или плоскость , то есть поверхность не имеющая трения. Реакция этой связи всегда направлена перпендикулярно точке соприкосновения. R – реакция связи

б) Гладкая опора Реакции этой связи направлены перпендикулярно к точке соприкосновения. (Реакция – сила внутри конструкции). Ее величина зависит от материала, размера и внешней силы.

в) Гибкая связь – связь, работающая только на растяжение, которая осуществляется тросом, канатом, цепью. Реакция гибкой связи направлена по самой связи к точке закрепления, то есть противоположно направлению силы.

г) Жесткие стержни . Осуществляется различными балками, двутаврами, швеллерами. Связь работает как на растяжение, так и на сжатие. Если стержень испытывает растяжение, то реакция направлена по стержню к месту закрепления, если на сжатие, то реакция - за стержень.

д) Шарнирная опора . Опоры бывают подвижные и неподвижные. Неподвижная опора имеет две реакции, расположенные перпендикулярно друг к другу. Подвижная опора имеет одну реакцию, перпендикулярно поверхности.

Подвижная опора Неподвижная опора

Задания для выполнения работы

1. Вычертить рисунки своего варианта.

2. Описать рисунок.

3. Определить вид связи и заменить их реакциями.

Вариант 18

1.

2.

3.

Контрольные вопросы:

1. В чем отличие между осью и проекцией?

2. Сколько уравнений равновесия Вы составляли при решении задачи?

3. Методика решения задач ПССС.

4. Дайте определение плоской системе сходящихся сил.

5. Какой величиной является проекция силы на координатную плоскость?

Литература:

1. Вереин Л.И. Техническая механика – М: Академия, 2006.

2. Мовнин М.С. Основы технической механики – СПБ: Политехника, 2003.

3. Молчанова Е.В., Шурыгина Г.Н. Статика и сопротивление материалов - Томск, 2008.

Практическая работа №2

Тема урока: Определение реакций связи плоской системы сходящихся сил.

Тип урока: закрепление полученных знаний.

Цель урока: Научиться определять реакции связи плоской системы сходящихся сил

Обеспечивающие средства:

1. методическое руководство по выполнению работы;

2. индивидуальное задание;

3. тетрадь для практических работ;

7. калькулятор.

Технология работы:

1.Внимательно изучите методические указания, предложенный теоретический материал.

2.В соответствие с вариантом, выполнить задание по методике представленной ниже.

3.Сделайте выводы о проделанной работе.

4.Ответить на контрольные вопросы.

Теоретический материал

Условия и уравнения равновесия плоской системы произвольно- расположенных сил.

При приведении системы сил к точке получается R гл и М гл.

Если система сил находится в равновесии, то R гл = 0, М гл = 0.

Запишем три вида уравнений равновесия для данной системы.

Первый вид

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

F x = Fcosα ;

P x = Pcosβ= P⋅ cos90 o =0 ;

R x =Rcosγ = -R⋅ cos(180 o -γ) .

Рисунок 1.13

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2 ), равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2 ) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π ).

Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):

P z = P sinα ;

P x = (P cosα)cosβ ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα⋅ cos(90 o -β) .

Рисунок 1.14

4. Сосре­доточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно счи­тать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН.

Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м2 (распределенные по площади).

ИНТЕНСИВНОСТЬ НАГРУЗКИ нагрузка, приходящаяся на единицу нагруженной площади или длины

5.Сложение сходящихся сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке,

называется системой с х о д я щ и х с я с и л.

Сложить две или несколько сил - это значит заменить эти силы одной силой, им эквивалентной, т.е.

найти их равнодействующую.

Из ADC: т.к.

Разложить силу - значит найти ее составляющие. Две равные силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, тело при действии этих сил находится в равновесии, т. е. в состоянии покоя.

6. Момент силы относительно центра (или точки).

Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее момен­том

Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 20). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О . Перпендикуляр h , опущенный из центра O на линию действия силы , на­зывается плечом силы от­носительно центра О . Так как точку приложения силы можно произвольно переме­щать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h ; 2) от поло­жения плоскости поворота ОАВ , проходящей через центр О и силуF ; 3) от направления поворота к этой плоскости.

Рис.20

Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается.

Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча.

Момент силы относительно центра О будем обозначать сим­волом m 0 (F ). Следовательно,

В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода ча­совой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20,а , момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20,б , - знак ми­нус.

Отметим следующие свойства момента силы:

1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия.

2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю).

3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью тре­угольника ОАВ (рис. 20,б )

Этот результат следует из того, что

Перейдем к рассмо­трению аналитического (численного) метода решения задач статики. Этот метод основывается на понятии о проекции силы на ось. Как и для всякого другого вектора, проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус - если в отрицательном. Из определения следует, что проек­ции данной силы на любые параллельные и одинаково направлен­ные оси равны друг другу. Этим удобно пользоваться при вычисле­нии проекции силы на ось, не лежащую в одной плоскости с силой.

Рис. 1

Обозначать проекцию силы на ось Ох будем символом F x . Тогда для сил, изображенных на рис.1, получим:

Но из чертежа видно, что

Следовательно,

т. е. проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным на­правлением оси. При этом проекция будет положительной, если угол между направлением силы и положительным направлением оси - острый, и отрицательной, если этот угол - тупой; если сила перпен­дикулярна к оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рис.2

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 2). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим чис­ленным значением, но и направлением в плоскости Оху . По модулю , где - угол между направ­лением силы и ее проекции .

В некоторых случаях для нахож­дения проекции силы на ось бывает удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось ле­жит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось.

Например, в случае, изображенном на рис. 2, найдем таким способом, что

Геометрический способ сложения сил.

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сло­жением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил (рис. 3, a ), откладываем от произвольной точки О (рис. 3, б ) век­тор Oa , изображающий в выбранном масштабе cилу F 1 , от точки a откладываем вектор , изображающий силу F 2 , от точки b откла­дываем вектор bc , изображающий силу F 3 и т. д.; от конца m пред­последнего вектора откладываем вектор mn , изображающий силуF n .Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное по­строение представляет собою результат последовательного приме­нения правила силового тре­угольника.

Рис.3

Фигура, построенная на рис. 3,б , называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким обра­зом, геометрическая сумма или главный вектор несколь­ких сил изображается замы­кающей стороной силового многоугольника, построенно­го из этих сил (правило сило­вого многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора - в сторону противоположную.

Равнодействующая сходящихся сил. При изучении статики мы будем последовательно переходить от рассмотрения более простых систем сил к более сложным. Начнем с рассмотрения си­стемы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии дей­ствия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 3, а ).

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 3, а в точке А ).

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, прихо­дим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодей­ствующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы сходятся в точке A (рис. 3, а ), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового мно­гоугольника, и приложенная в точке А , будет равнодействующей этой системы сил.

Примечания.

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник - отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода:

1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой,т. е. когда много­угольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построен­ный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Теорема о трех силах. Уравновешенная плоская система трех непараллельных сил является сходящейся.

Условие «плоская» в формулировке теоремы не является необходимым - можно убедиться, что любая уравновешенная система трех сил всегда будет плоской. Это следует из условий равновесия произвольной пространственной системы сил, которые будут рассмотрены далее.

Пример 1. На рис.4 показаны три силы. Проекции сил на оси х, у, z очевидны:

Рис.4

Рис. 2.4.

А чтобы найти проекцию силы на ось х нужно использовать пра­вило двойного проектирования .

Проектируем силу сначала на плос­кость х Оу , в которой расположена ось (рис.4), получим вектор , величиной а затем его проектируем на ось х: .

Аналогично действуя, найдём проекцию на ось у : .

Проекция на ось z находится проще: .

Нетрудно убе­диться, что проекции сил на ось V равны:

При определении этих проекций удобно воспользоваться рис.5, видом сверху на распо­ложение сил и осей.

Рис.5

Вернёмся к системе сходящихся сил (рис. 6). Проведём оси координат с началом в точке пересечения линий действия сил, в точке О .

Мы уже знаем, что равнодействующая сил . Спроектируем это векторное равенство на оси. Получим проек­ции равнодействующей на оси x , y , z :

Они равны алгебраическим сум­мам проекций сил на соответствующие оси. А зная проекции равнодействую­щей, можно определить и величину её как диагональ прямоугольного парал­лелепипеда или

Направление вектора найдём с помощью направляющих косинусов (рис.6):

Рис.6

Пример 2. На шар, вес которого Р, лежащий на горизонтальной плоско­сти и привязанный к ней нитью АВ , действует сила F (рис.7). Определим реакции связей.

Рис.7

Следует сразу заметить, что все задачи статики решаются по одной схеме, в определённом порядке.

Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.

1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие ко­торого следует рассмот­реть, чтобы найти неиз­вестные.

В этой задаче, ко­нечно, объект равновесия – шар.

2. Построение рас­чёт­ной схемы. Расчётная схема – это объект рав­новесия, изображённый отдельно, свободным телом, без свя­зей, со всеми силами, действую­щими на него: реакциями и остальными силами.

Показываем реакцию нити и нормаль­ную реакцию плоскости – (рис.7). Кроме них на шар действуют заданные силы и .

3. Надо установить какая получилась система сил и составить со­ответствующие уравнения равновесия.

Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плос­кости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно):

4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные.

По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость. А мы нашли реакцию плоскости на шар. Но, по определению следует, что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.

Пример 3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис.8). Определим усилия в стержнях.

Рис.8

В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с гру­зом. Он нарисован отдельно с реак­циями, усилиями в стержнях и весом . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем три уравнения равно­весия:

Из первого уравнения следует: S 2 = S 3 . Тогда из третьего:

А из второго:

Когда мы направляли усилие в стержне от узла, от объекта равнове­сия, предполагали, что стержни работают на растяжение. Усилие в стержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Так что знак усилия в стержне указывает как работает стержень: на растяжение или на сжатие.

Пример 4. Определить реакции стержней, соединенных шарниром В , если к нему подвешен груз весом Q (рис.9,а ).

Решение. В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела: T = Q (рис.9,б ).

Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В . Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила Q и реакции отброшенных стержней S A и S C (рис.9,в ).

Решим эту задачу аналитически. Выбирая начало отсчета в точке В , составим уравнения равновесия, которые примут вид:

-S A cosα + S C cosβ = 0;

S A sinα + S C sinβ = Q .

Чтобы найти отсюда S C сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на sinα, а второе – на cosα:

S C (sinαcosβ + cosα sinβ) = Q cosα.

Отсюда следует, что S C = Q cosα/sin(α+β), а поскольку α и β в эти уравнения входят симметрично, то S A = Q cosβ/sin(α+β).

Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом.

Треугольник, образованный из трех сил: Q , S A и S C должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q ) и направлению двух других сторон(S A и S C ). Для этого нужно в масштабе построить вектор Q , а затем из начала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные S A и S C до их пересечения (рис.9,г ).

Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Рис.9

Можно, впрочем, определить величину S A и S C и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник.

С этой целью воспользуемся теоремой синусов:

откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:

То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно.

Пример 5. Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В . Через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом Q (рис.10,а ). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.

Решение. Рассмотрим равновесие блока В , к которому приложены силы натяжения нитей Т 1 и Т 2 и реакции отброшенных стержней S A и S С , которые, как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (рис.10,б ).

Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q , который приложен к блоку с помощью нити, поэтому Т 1 = Q . По поводу силы Т 2 надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому Т 1 = Т 2 = Q .

Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (рис.10,в ).

Определим реакции S A и S С аналитически. Отметим, что если в первое из аналитических уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение ΣY i = 0 неизвестная реакция S С не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения:

S A cos30°+ Т 2 cos60°- Т 1 = 0.

Подставляя сюда значения тригонометрических функций и Т 1 = Т 2 = Q , получим:

Теперь вернемся к уравнению ΣX i = 0:

- S A cos60°+ Т 2 cos30°+ S С = 0,

Подставив найденное выше значение S A , получим:

При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т 1 и Т 2 , затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные S A и S С до их пересечения (рис.10,г ).

Рис.10

Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и |S A |=|S С |. При этом направление вектора S С на силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянут, а сжат.

Примечания.

1. В системе аналитических уравнений равновесия оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось Ох , совпадающую по направлению с силой Т 2 , мы получим систему уравнений, из которых неизвестные S A и S С находятся независимо одно от другого .

2. Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным.

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменен о вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию , которой приписано определенное направление . Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси , отсе­каемым перпендикулярами , опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+ ), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (- ), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось .

1. Дана сила Р (рис.а ), она лежит в одной пло­скости с осью х . Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α .

Чтобы найти величину проекции , из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Р х = ab = Р cos α .

Проекция вектора в данном случае положительна .

2. Дана сила Q (рис. б ), которая лежит в одной плоскости с осью х , но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α .

Проекция силы Q на ось х

Q х = ab = Q cos α,

cos a = - cos β .

Так как α > 90° , то cos cos α - отрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β - острый угол), оконча­тельно получим

Q х = - Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна .

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси .

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси - положительным или отрицательным - он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу , можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу . Рассмотрим рисунок.

На нем изображена сила Р и ее проекции Р х и Р у . Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил в общем виде: M O1 =ƩM o1 (F k). В нашем случае, имеем M O1 =M Ol (R), так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M O =0). Сравнивая соотношения, получаем M O1 (R)=ƩM Ol (F k); ч.т.д.

18.Аналитический способ задания силы Выберем систему координат Oxyz. Вектор можно построить, зная модульи углымежду вектором и соответствующими осями Задание этих величин и определяет силу. Точка приложения силы должна быть задана дополнительно координатами х, у, z. Кроме того, силу можно задавать проекциями на оси. Тогда

Эти формулы позволяют, зная проекции силы на оси координат найти ее модуль и углы с осями, т.е. определить силу. Зная проекции, можно построить вектор геометрически.

Для плоскости формулы (2.2.1) и (2.2.2) запишутся Построение в плоскости производится по 4-й аксиоме статики.

19. Опорные устройства балочных систем

Применяются следующие виды опор:

Шарнирно - подвижная опора

Здесь остается неизвестным числовое значение опорной реакции RA. Следует отметить, что опорная поверхность шарнирно-подвижной опоры может быть непараллельна оси балки (рис.б). Реакция RA в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

Шарнирно - неподвижная опора

Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции - центр шарнира; направлениеи значение опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения значения и направления (полной)реакции RA находят ее составляющие RAx и RAy.

Жесткая заделка (защемление)Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Поэтому жесткую заделку заменяют силой реакции RA и парой сил с моментом MA.

Для определения опорной реакции следует найти три неизвестных: составляющие RAx и RAy опорной реакции по осям координат и реактивный момент MA.

20.Проекция силы на ось и на плоскость

Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось.

Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном.

Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

Проекция силы на ось Ох обозначается какTo есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 13).

Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы на плоскость Оху выражается какТогда проекции на оси Ох и Оу:

21. разложение сил . Разложить данную силу на не­сколько составляющих - значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

а) разложение силы по двум заданным на­правлениям. Задача сводится к построению такого парал­лелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям

б)разложение силы по трем заданным на­правлениям. Если заданные направления не лежат в одной плоскости, то задача"является определенной и сводится к построе­нию такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает заданную силу R, а ребра параллельны заданным направлениям. Способом разложения можно в простейших случаях пользовать­ся для определения сил давления на связи. Для этого действующую на тело (конструкцию) заданную силу надо разложить по направле­ниям реакции связей, так как согласно закону о действии и противо­действии сила давления на связь и реакция связи направлены вдоль одной и той же прямой.