Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где , и - значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутты

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где - величина шага, а - узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.

Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле :

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

Примечания

Литература

• Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
• Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Western Union
• Патагонский попугай

Смотреть что такое "Формула Симпсона" в других словарях:

СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол) формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), Названа по имени Т. Симпсона (1743) … Большой Энциклопедический словарь

СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол), формула для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная формула), имеющая вид где А = (b а)/2n, fk = f(a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743) …

Симпсона формула - формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид: , где h = (b а)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на… … Большая советская энциклопедия

Симпсона формула - формула парабол, формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид, где h = (b–a)/2n, fk = f(а + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743). * * * СИМПСОНА ФОРМУЛА СИМПСОНА… … Энциклопедический словарь

Формула прямоугольников

Формула трапеций - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия

СИМПСОНА ФОРМУЛА - частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берутся три узла: Пусть промежуток [а, b]разбит на пчастичных промежутков , i=0, 1, 2, ..., n 1, длины h=(b а)/п, при этом n считается четным числом, и для вычисления интеграла … Математическая энциклопедия

Симпсона формула - … Википедия

Метод Симпсона - Формула Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710 1761). Рассмотрим отрезок . Пусть известны значения вещественной функции f(x) в точках a, (a+b)/2, b.… … Википедия

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА - формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула … Естествознание. Энциклопедический словарь

Метод парабол (Симпсона)

Суть метода, формула, оценка погрешности.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл.

Разобьем отрезок на n элементарных

отрезков [;], i = 1., n длины 2*h = (b-a)/ n точками

a = < < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

На каждом интервале [;], i = 1,2., n подынтегральная функция

приближается квадратичной параболой y = a* + b*x + c, проходящей через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()). Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять, который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .

Вывод Формулы Симпсона.

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить

Покажем, что через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит только одна квадратичная парабола y = a* + b*x + c. Другими словами, докажем, что коэффициенты, определяются единственным образом.

Так как (; f ()), (; f ()), (; f ()) - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных, . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда, а он отличен от нуля для несовпадающих точек,. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты, определяются единственным образом, и через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла.

Очевидно:

f () = f(0) = + + =

f () = f(h) = + +

f () = f (2*h) = + +

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Пример метода Симпсона.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, не берущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания - необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаю решать. Если у нас два отрезка разбиения, то узлов будет на один больше : , . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования a = = 1.2, а затем последовательно приплюсовываем шаг h = 0.4.

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если = 1.6, то. Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности: 0,002165 > 0,001, поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона становится больше:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметим, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: 0,000247 < 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Отрезок интегрирования разобьем на четное число элементарных отрезков равной длины точкамис шагом
(
). На каждом отрезке
подынтегральную функцию аппроксимируем многочленом второй степени, которая на этом отрезке имеет вид
. Заметим, чтоi принимает здесь только нечетные значения от 1 до
. Таким образом, подынтегральная функция аппроксимируется совокупностью квадратных многочленов или сплайном второй степени.

Вычислим произвольный интеграл из правой части.

Коэффициенты ,имогут быть найдены из условия интерполяции, то есть из уравнений

,

Заметим, что точка является серединой отрезка
, следовательно
. Подставим это выражение во второе уравнение интерполяции:

.

Умножим это уравнение на 4 и сложим с остальными:

Последнее выражение в точности совпадает с выражением, стоящим в квадратных скобках формулы (5.1). Следовательно,

А значит,

Таким образом, формула Симпсона имеет вид:

Оценка погрешности квадратурных формул.

Оценим погрешность при использования метода средних прямоугольников в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки,
.

Последний ряд содержит лишь нечетные степени x . Тогда

При малой величине шага h основной вклад в погрешность R будет вносить величина
, называемая главным членом погрешностиR .

Применим метод средних прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh . Тогда

.

Итак,
, где
– постоянная величина. Погрешность в приближенном равенстве
есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению спри
.

Степень шага h , которой пропорционален остаток R , называется порядком точности метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности.

Оценим погрешность при использовании метода трапеций также в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (
).

Главный член погрешности R :

.

Применяя метод левых прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh , получаем

.

Итак, метод трапеций также имеет второй порядок точности.

Аналогично можно показать, что методы левых и правых прямоугольников имеют первый, метод Симпсона – четвертый порядок точности.

Лекция 17.

«Правило Рунге практической оценки погрешности.

Понятие об адаптивных алгоритмах.

Особые случаи численного интегрирования.

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.»

Правило Рунге практической оценки погрешности.

Пусть некоторый метод интегрирования имеет порядок точности k , то есть
, где– погрешность,A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и подынтегральной функции, h – шаг разбиения. Тогда

а при шаге

,

Выведенная формула называется первой формулой Рунге. Она имеет большое практическое значение. Если нужно вычислить интеграл с точностью  , то мы должны вычислять приближенные значения интеграла, удваивая число элементарных отрезков, пока не добьемся выполнения неравенства

Тогда, пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать, что

Если мы хотим получить более точное значение искомого интеграла, то за уточненное значение J мы можем принять вместо
сумму

.

Это вторая формула Рунге. К сожалению, погрешность этого уточненного значения остается неопределенной, но обычно она на порядок выше, чем точность первоначального метода (когда за значение J мы принимаем
).

Для примера рассмотрим метод трапеций. Как было показано выше, порядок точности k этого метода равен 2.

где
. По второй формуле Рунге

где
есть приближенное значение интеграла найденное методом Симпсона с шагом. Так как порядок этого метода равен 4, то в данном примере применение второй формулы Рунге увеличило порядок точности на 2.

Суть метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Для интерполирования подынтегральной функции используются три точки.

Рассмотрим произвольный интеграл. Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо стали [-1,1]. Для этого введем переменную z:

Рассмотрим задачу интерполирования подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2). Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции:

Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома, проходящего через три точки (-1, f-1), (0, f0) и(1, f-+1) примет вид:

Коэффициенты легко могут быть получены:

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена:

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что:

соответствует

соответствует

соответствует

Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

Полученное значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = x0, x = x2 и параболой, проходящей через точки

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит:

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго a+2h, a+3h, a+4h, третьего a+4h, a+5h, a+6h и т.д. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

интегрирование численный метод симпсон

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом:

Приняв во внимание то, что получаем:

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у функции на отрезкесуществуют непрерывные производные. Составим разность:

Применяя к этой разнице последовательно теорему о среднем и дифференцируя R(h) получаем погрешность метода Симпсона:

Погрешность метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз.

Преимущества и недостатки

Формулы Симпсона и Ньютона-Котеса являются хорошим аппаратом для вычисления определенного интеграла достаточное число раз непрерывно дифференцируемой функции. Так, при условии, что четвертая производная не слишком велика, метод Симпсона позволяет получить достаточно высокую точность. В то же время, ее алгебраический порядок точности 3, и формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей.

Также методы Ньютона-Котеса и в частности метод Симпсона будут наиболее эффективными в случаях, когда априорная информация о гладкости подынтегральной функции отсутствует, т.е. когда подынтегральная функция задана таблично.

Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квад­ратурных.

Напомним простейшие формулы численного интегрирования.

Вычислим приближенное численное значение . Интервал интегрирования [а, b] разобьем на п равных частей точками деле­ния
, называемыми узлами квадра­турной формулы. Пусть в узлах известны значения
:

Величина

называется интервалом интегрирования или шагом. Отметим, что в практике -вычислений число я выбирают небольшим, обычно оно не больше 10-20.На частичном интервале

подынтегральную функцию заменяют интерполяционным много­членом

который на рассматриваемом интервале приближенно представ­ляет функцию f (х).

а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда

Полученная квадратная формула

называется формулой прямоугольников.

б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда

(2)

Формула (2) называется формулой трапеций.

в) Интервал интегрирования
разобьем на четное число 2n равных частей, при этом шаг интегрирования h будет равен. На интервале
длиной 2h подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй сте­пени, т. е. удержим в многочлене три первых члена:

Полученная квадратурная формула называется формулой Симп­сона

(3)

Формулы (1), (2) и (3) имеют простой геометрический смысл. В формуле прямоугольников подынтегральная функция f(х) на интервале
заменяется отрезком прямой у = ук, параллельной оси абсцисс, а в формуле трапеций - отрезком прямой
и вычисляется соответственно площадь прямо­угольника и прямолинейной трапеции, которые затем сумми­руются. В формуле Симпсона функция f(х) на интервале
длиной 2h заменяется квадратным трехчленом - параболой
вычисляется площадь криволинейной параболической трапеции, затем площади суммируются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.

По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв­ляется достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ­ций, имеющих конечное число точек разрыва.

Вычис­ление определенного интеграла от непрерывной функции с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда явля­ется элементарной функцией или функцией, для которой состав­лены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция зада­ется таблично и формула Ньютона - Лейбница непосредственно неприменима.

Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона .

Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.