Вопросы к экзамену по математике. II семестр.
При ответе на вопрос требуется дать определение всем используемым терминам.
Алгебра.
1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.
2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.
3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).
4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).
5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).
6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
7. Пространства и .
8. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
9. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.
10. Перемножение матриц. Свойства.
11. Обратные и транспонированные матрицы.
12. Перемножение матриц, разбитых на блоки.
13. Ортогональные матрицы.
14. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .
15. Перестановки.
16. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.
17. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.
18. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число.
19. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.
20. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.
21. Матрицы элементарных преобразований.
22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.
23. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.
24. Однородные системы линейных уравнений.
25. Теорема Крамера.
26. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.
27. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.
28. Теорема Кронекера-Капелли.
29. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.
30. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.
31. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.
32. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения.
33. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.
34. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.
35. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
36. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.
37. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.
38. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.
39. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой
40. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
41. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.
Математический анализ.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
42. Последовательность точек в .Теорема о покоординатной сходимости.
43. Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.
44. Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.
45. Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.
46. Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.
47. Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
48. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
49. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.
50. Формула Тейлора функции р переменных.
51. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х) , заданной неявно уравнением
52. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных. Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y) , заданной неявно уравнением
.
Вычисление первых производных функций y(x), z(x) , u(x), заданных неявно системой
.
53. Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.
54. Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии .
При ответе на оценку 3 требуется знать все определения и формулировки из вопросов 1 – 54, а также доказательства теорем из вопросов 25, 29, 33, 40, 46, 49. Использовать конспекты (и шпаргалки) нельзя.
Введение в математический анализ
1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства. Модуль числа, его свойства. Декартово произведение множеств. Грани множеств. Счетные и несчетные множества.
2.. Функции, способы их задания, классификация.
3. Окрестность точки. Предел последовательности. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства). Определение предела функции по Гейне.
4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.
5. Определение предела функции непрерывного аргумента по Коши при и .
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними. Свойства бесконечно малых функций.
7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.
Теоремы о пределах (свойства пределов).
8. Теорема о промежуточной функции. Первый замечательный предел.
9. Второй замечательный предел, его обоснование, применение в финансовых вычислениях.
10. Сравнение бесконечно малых функций.
11. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.
12. Свойства непрерывных функций.
13. Точки разрыва функций.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
14. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
15. Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахождение производной.
16. Правила дифференцирования функций.
17. Вывод формул дифференцирования тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
18. Вывод формул дифференцирования логарифмической и показательной функций.
19. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков.
20. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Примеры.
21. Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.
22. Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.
23. Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.
24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.
25. Теорема Коши о дифференцируемых функциях.
26. Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.
27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.
28. Формула Маклорена, её остаточный член. Разложение элементарных функций.
29. Формула Маклорена, её применение для нахождения пределов и вычисления значений функций.
30. Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.
31. Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.
32. Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.
33. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.
34. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.
35. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
36. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня и поверхности уровня.
37. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.
38. Бесконечно малые функции. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Точки и линии разрыва. Свойства непрерывных функций.
39. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.
40. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.
41. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
42. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение.
43. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений.
44. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
45. Частные производные сложной функции нескольких переменных.
46. Частные производные функции нескольких переменных, заданной неявно.
47. Производная функции нескольких переменных по направлению.
48. Градиент функции нескольких переменных, его свойства.
49. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
50. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных.
51. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.
52. Достаточный признак условного экстремума. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.
53. Метод наименьших квадратов.
Дифференциальное исчисление является разделом математического анализа, который изучает производную, дифференциалы и их использование при исследовании функции.
История появления
Дифференциальное исчисление выделилось в самостоятельную дисциплину во второй половине 17 века, благодаря трудам Ньютона и Лейбница, которые сформулировали основные положения в исчислении дифференциалов и заметили связи между интегрированием и дифференцированием. С того момента дисциплина развивалась вместе с исчислением интегралов, составляя тем самым основу математического анализа. Появление данных исчислений открыло новый современный период в математическом мире и вызвало возникновение новых дисциплин в науке. Также расширило возможность применения математической науки в естествознании и технике.
Основные понятия
Дифференциальное исчисление базируется на фундаментальных понятиях математики. Ими являются: непрерывности, функция и предел. Спустя время они приняли современный вид, благодаря интегральным и дифференциальным исчислениям.
Процесс создания
Формирование дифференциального исчисления в виде прикладного, а затем и научного метода произошло перед возникновением философской теории, которую создал Николай Кузанский. Его работы считаются эволюционным развитием из суждений античной науки. Несмотря на то что сам философ математиком не был, его вклад в развитие математической науки неоспорим. Кузанский один из первых ушел от рассмотрения арифметики как максимально точной области науки, поставив математику того времени под сомнения.
У античных математиков универсальным критерием была единица, в то время как философ предложить в качестве новой меры бесконечность взамен точного числа. В связи с этим инвертируется представление точности в математической науке. Научное знание, по его представлению, делится на рассудочное и интеллектуальное. Второе является более точным, по мнению ученого, поскольку первое дает лишь приблизительный результат.
Идея
Основная идея и понятие в дифференциальном исчислении связаны с функцией в малых окрестностях определенных точек. Для этого необходимо создать математический аппарат для исследований функции, поведение которой в малой окрестности установленных точек близко к поведению многочлена или линейной функции. Основано это на определении производной и дифференциала.
Появление было вызвано большим число задач из естественных наук и математики, которые приводили к нахождению значений пределов одного типа.
Одной из основных задач, которые даются как пример, начиная со старших классов школы, является определение скорости движения точки по прямой линии и построение касательной линии к этой кривой. Дифференциал связан с этим, поскольку есть возможность приблизить функцию в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функции.
По сравнению с понятием производной функции действительной переменной, определение дифференциалов просто переходит на функцию общей природы, в частности на изображение одного евклидова пространства на другое.
Производная
Пусть точка движется по направлению оси Оу, за время возьмем х, которое отсчитывается от некоего начала момента. Описать такое перемещение можно по функции у=f(x), которая ставится в соответствие каждому временному моменту х координаты перемещаемой точки. Данную функцию в механике принять звать законом движения. Основной характеристикой движения, в особенности неравномерного, является Когда точка перемещается по оси Оу согласно закону механики, то в случайный временной момент х она приобретает координату f(x). Во временной момент х + Δх, где Δх обозначает приращение времени, ее кордината будет f(х + Δх). Так формируется формула Δy = f(х + Δх) - f(х), которую называют приращением функции. Она представляет собой пройденный точкой путь за время от х до х + Δх.
В связи с возникновением этой скорости в момент времени вводится производная. В произвольной функции производную в фиксированной точке называют пределом (при условии его существования). Обозначаться она может определенными символами:
f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Процесс вычисления производной именуют дифференцированием.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Данный метод исчисления применятся при исследовании функции с несколькими переменными. При наличии двух переменных х и у, частная производная по х в точке А зовется производной этой функции по х с фиксированным у.
Может обозначаться следующими символами:
f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x.
Необходимые навыки
Чтобы успешно изучить и уметь решать диффуры, требуются навыки в интегрировании и дифференцировании. Чтобы было легче разобраться в дифференциальных уравнениях, следует хорошо понимать тему производной и Также не помешает научиться искать производную от неявно заданной функции. Связано это с тем, что в процессе изучения придется часто использовать интегралы и дифференцирование.
Типы дифференциальных уравнений
Практически во всех контрольных работах, связанных с существует 3 вида уравнений: однородные, с разделяющимися переменными, линейные неоднородные.
Имеются и более редкие разновидности уравнений: с полными дифференциалами, уравнения Бернулли и прочие.
Основы решения
Для начала следует вспомнить алгебраичные уравнения из школьного курса. В них содержатся переменные и числа. Для решения обычного уравнения следует найти множество чисел, удовлетворяющих заданному условию. Как правило, такие уравнения имели одни корень, и для проверки правильности следовало лишь подставить это значение на место неизвестной.
Дифференциальное уравнение схоже с этим. В общем случае такое уравнение первого порядка включает:
- Независимую переменную.
- Производную первой функции.
- Функцию или зависимую переменную.
В отдельных случаях может отсутствовать одна из неизвестных, х или у, однако это не столь важно, так как необходимо наличие первой производной, без производных высших порядков, чтобы решение и дифференциальное исчисление были верны.
Решить дифференциальное уравнение - это значит отыскать множество всех функций, подходящих заданному выражению. Подобное множеств функций часто называется общим решением ДУ.
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление является одним из разделов математического анализа, который изучает понятие интеграла, свойства и методы его вычисления.
Зачастую вычисление интеграла встречается при вычислении площади криволинейной фигуры. Под этой площадью подразумевается предел, к которому стремится площадь вписанного в заданную фигуру многоугольника с постепенным возрастанием его стороны, при этом данные стороны могут быть выполнены менее всякого ранее указанного произвольного малого значения.
Главная идея в вычислении площади произвольной геометрической фигуры состоит в подсчёте площади прямоугольника, то есть доказательстве, что его площадь равняется произведению длины на ширину. Когда речь идет о геометрии, то все построения производятся при помощи линейки и циркуля, и тогда отношение длины к ширине является рациональным значением. При подсчете площади прямоугольного треугольника можно определить, что если отложить такой же треугольник рядом, то образуется прямоугольник. В параллелограмме площадь подсчитывается подобным, но чуть более усложненным методом, через прямоугольник и треугольник. В многоугольниках площадь считают через входящие в него треугольники.
При определении пощади произвольной кривой данный метод не подойдет. Если разбить её на единичные квадраты, то останутся незаполненные места. В этом случае пытаются использовать два покрытия, с прямоугольниками сверху и снизу, в результате те включают график функции и не включают. Важным здесь остается способ разбивания на эти прямоугольники. Также если брать разбивания все более уменьшающиеся, то площадь сверху и снизу должна сойтись на определенном значении.
Следует вернуться к способу разделения на прямоугольники. Имеется два популярных метода.
Риманом было формализовано определение интеграла, созданное Лейбницем и Ньютоном, как площади подграфика. В этом случае были рассмотрены фигуры, состоящие из некоторого числа вертикальных прямоугольников и полученные при разделении отрезка. Когда при уменьшении разбивания имеется предел, к которому сводится площадь подобной фигуры, этот предел называют интегралом Римана функции на заданном отрезке.
Вторым методом является построение интеграла Лебега, состоящее в том, что за место разделения определяемой области на части подынтегральной функции и составления затем интегральной суммы из полученных значений в этих частях, на интервалы делится её область значений, а после суммируется с соответствующими мерами прообразов этих интегралов.
Современные пособия
Одно из основных пособий по изучению дифференциального и интегрального исчисления написал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Его учебник является фундаментальным пособием по изучению математического анализа, который выдержал много изданий и переводов на другие языки. Создан для студентов вузов и долгое время применяется во множестве учебных заведений как одно из основных пособий по изучению. Дает теоретические данные и практические умения. Впервые издан в 1948 году.
Алгоритм исследования функции
Чтобы исследовать методами дифференциального исчисления функцию, необходимо следовать уже заданному алгоритму:
- Найти область определения функции.
- Найти корни заданного уравнения.
- Подсчитать экстремумы. Для этого следует вычислить производную и точки, где она равняется нулю.
- Подставляем полученное значение в уравнение.
Разновидности дифференциальных уравнений
ДУ первого порядка (иначе, дифференциальное исчисление одной переменной) и их виды:
- Уравнение с разделяющимися переменными: f(y)dy=g(x)dx.
- Простейшие уравнения, или дифференциальное исчисление функции одной переменной, имеющие формулу: y"=f(x).
- Линейное неоднородное ДУ первого порядка: y"+P(x)y=Q(x).
- Дифференциальное уравнение Бернулли: y"+P(x)y=Q(x)y a .
- Уравнение с полными дифференциалами: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.
Дифференциальные уравнения второго порядка и их виды:
- Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными значениями коэффициента: y n +py"+qy=0 p, q принадлежит R.
- Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным значением коэффициентов: y n +py"+qy=f(x).
- Линейное однородное дифференциальное уравнение: y n +p(x)y"+q(x)y=0, и неоднородное уравнение второго порядка: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).
Дифференциальные уравнения высших порядков и их виды:
- Дифференциальное уравнение, допускающие понижение порядка: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
- Линейное уравнение высшего порядка однородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0 , и неоднородное: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x) .
Этапы решения задачи с дифференциальным уравнением
С помощью ДУ решаются не только математические или физические вопросы, но и различные проблемы из биологии, экономики, социологии и прочего. Несмотря на большое разнообразие тем, следует придерживаться единой логической последовательности при решении подобных проблем:
- Составление ДУ. Один из наиболее сложных этапов, который требует максимальный точности, поскольку любая ошибка приведет к полностью неверным итогам. Следует учитывать все факторы, влияющие на процесс, и определить начальные условия. Также следует основываться на фактах и логических выводах.
- Решение составленного уравнения. Этот процесс проще первого пункта, поскольку требует лишь строгого выполнения математических подсчетов.
- Анализ и оценка полученных итогов. Выведенное решение следует оценить для установки практической и теоретической ценности результата.
Пример использования дифференциальных уравнений в медицине
Использование ДУ в области медицины встречается при построении эпидемиологической математической модели. При этом не стоит забывать, что данные уравнения также встречаются в биологии и химии, которые близки к медицине, потому что в ней немаловажную роль играет исследование разных биологических популяций и химических процессов в теле человека.
В приведённом примере с эпидемией можно рассматривать распространение инфекции в изолированном обществе. Обитатели подразделяются на три вида:
- Инфицированные, численность x(t), состоявшие из особей, носителей инфекции, каждый из которых заразен (инкубационный период короткий).
- Второй вид включает восприимчивых особей y(t), способных заразиться при контактировании с инфицированными.
- Третий вид включает в себя невосприимчивых особей z(t), которые имеют иммунитет или погибли из-за болезни.
Количество особей постоянно, учет рождения, естественных смертей и миграции не учитывается. В основе будет иметься две гипотезы.
Процент заболеваемости в определённый временной момент равняется x(t)y(t) (основывается предположение на теории, что число заболевших пропорционально количеству пересечений между больными и восприимчивыми представителями, которое в первом приближении будет пропорционально x(t)y(t)), в связи с этим количество заболевших возрастает, а число восприимчивых уменьшается со скоростью, которая вычисляется по формуле ax(t)y(t) (a > 0).
Число невосприимчивых особей, которые приобрели иммунитет или погибли, возрастает со скоростью, которая пропорциональна количеству заболевших, bx(t) (b > 0).
В итоге можно составить систему уравнений с учетом всех трех показателей и на её основе сделать выводы.
Пример использования в экономике
Дифференциальное исчисление часто применяется при экономическом анализе. Основной задачей в экономическом анализе считается изучение величин из экономики, которые записаны в форму функции. Это используется при решении задач вроде изменения дохода сразу после увеличения налогов, ввода пошлин, изменения выручки компании при изменении стоимости продукции, в какой пропорции можно заменить выбывших работников новым оборудованием. Чтобы решить такие вопросы, требуется построить функцию связи из входящих переменных, которые после изучаются с помощью дифференциального исчисления.
В экономической сфере часто необходимо отыскать наиболее оптимальные показатели: максимальную производительность труда, наивысший доход, наименьшие издержки и прочее. Каждый такой показатель является функцией из одного или нескольких аргументов. К примеру, производство можно рассмотреть как функцию из затраты труда и капитала. В связи с этим нахождение подходящего значения можно свести к отысканию максимума или минимума функции из одной или нескольких переменных.
Такого рода задачи создают класс экстремальных задач в экономической области, для решения которых необходимо дифференциальное исчисление. Когда экономический показатель требуется минимизировать или максимизировать как функцию от другого показателя, то в точке максимума отношение приращения функции к аргументам будет стремиться к нулю, если приращение аргумента стремится к нулевому значению. Иначе же, когда подобное отношение стремится к некому положительному или отрицательному значению, указанная точка не является подходящей, потому что при увеличении или уменьшении аргумента можно поменять зависимую величину в необходимом направлении. В терминологии дифференциального исчисления это будет значить, что требуемым условием для максимума функции является нулевое значение её производной.
В экономике нередко встречаются задачи на нахождение экстремума функции с несколькими переменными, потому что экономические показатели складываются из многих факторов. Подобные вопросы хорошо изучены в теории функций нескольких переменных, применяющей методы дифференциального вычисления. Подобные задачи включают в себя не только максимизируемые и минимизируемые функции, но и ограничения. Подобные вопросы относятся к математическому программированию, и решаются они с помощью специально разработанных методов, также опирающихся на этот раздел науки.
Среди методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, важным разделом является предельный анализ. В экономической сфере этот термин обозначает совокупность приемов исследования изменяемых показателей и результатов при смене объемов создания, потребления, основываясь на анализе их предельных показателей. Предельным показателем считается производная или частные производные при нескольких переменных.
Дифференциальное исчисление нескольких переменных - немаловажная тема из области математического анализа. Для подробного изучения можно использовать различные учебные пособия для высших учебных заведений. Одно из наиболее известных создал Фихтенгольц - "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Как заметно из названия, для решения дифференциальных уравнений немалое значение имеют навыки в работе с интегралами. Когда имеет место дифференциальное исчисление функции одной переменной, решение становится проще. Хотя, надо заметить, оно подчиняется тем же основным правилам. Чтобы на практике исследовать функцию дифференциальным исчислением, достаточно следовать уже имеющемуся алгоритму, который дается в старших классах школы и лишь немногим осложняется при вводе новых переменных.
Функция n переменных Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x, y, z, …, t, если каждой системе значений x, y, z, …, t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x, y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x, y, z) – некоторую совокупность точек пространства.
Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x, y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x, y) либо z= f(x, y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x, y) , u = u (x, y)
Частные производные первого порядка Частной производной от функции z =f(x, y) по независимой переменной х называется конечный предел вычисленный при постоянной у Частной производной по у называется конечный предел вычисленный при постоянной х Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Полный дифференциал функции z =f(x, y) вычисляется по формуле Полный дифференциал функции трех аргументов u =f(x, y, z) вычисляется по формуле
Частные производные высших порядков Частными производными второго порядка от функции z =f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.
Дифференциалы высших порядков Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x, y) называется дифференциал от ее пологого Дифференциалы высших порядков вычисляются по формуле Имеет место символическая формула
Дифференцирование сложных функций Пусть z=f(x, y), где х=φ(t), у=ψ(t) и функции f(x, y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функции z=f[φ(t), ψ(t)] вычисляется по формуле
Дифференцирование неявных функций Производные неявной функции двух переменных z=f(x, y), заданной с помощью уравнения F(x, y, z)=0, могут быть вычислены по формулам
Экстремум функции Функции z=f(x, y) имеет максимум (минимум) в точке M 0(x 0; y 0) если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x; y) некоторой окрестности точки M 0. Если дифференцируемая функция z=f(x, y) достигает экстремума в точке M 0(x 0; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. (необходимые условия экстремума).
Пусть M 0(x 0; y 0) стационарная точка функции z=f(x, y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC B 2. Тогда: Если Δ>0, то функция имеет в точке М 0 экстремум, а именно максимум при А 0 (или С>0); Если Δ
Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a, b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т. е. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
Неопределённый интеграл Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом. Таким образом, по определению где C произвольная постоянная; f(x) подынтегральная функция; f(x) dx подынтегральное выражение; x переменная интегрирования; знак неопределенного интеграла.
Свойства неопределённого интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Если, то и где u=φ(x) произвольная функция, имеющая непрерывную производную
Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приво дится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):
Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл. Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ"(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
Интегрирование по частям Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида: где А, В, p, q, a действительные числа.
Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а второй преобразуем так: Полагая х+р/2=t, dx=dt получим и обозначая q-p 2/4=a 2,
Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1)Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде где М(х) многочлен, а P 1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь; 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где р2/4 q
3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А 1, А 2, …, Аm, …, В 1, В 2, …, Вm, …, С 1, С 2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида где R – рациональная функция; m 1, n 1, m 2, n 2, … целые числа. С помощью подстановки ах+b=ts, где s наименьшее общее кратное чисел n 1, n 2, …, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 2. Интеграл вида Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16
3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму интегралов:
4. Интегралы вида С помощью подстановки х α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п. 2 5. Интеграл вида где Рn(х) – многочлен n й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества где Qn 1(x) – многочлен (n 1) й степени с неопределенными коэффициентами, λ число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn 1(x) и число λ.
6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П. Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. 2) (m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts; 3) (m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax n+b=ts , где s – знаменатель дроби р.
Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса. В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п. 1). Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δхi стремится к нуль. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует
Src="https://present5.com/presentation/-110047529_437146758/image-36.jpg" alt="Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной"> Если f(x)>0 на отрезке , то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0
Правила вычисления определенных интегралов 1. Формула Ньютона Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т. е. F(x)‘= f(x). 2. Интегрирование по частям: где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .
3. Замена переменной где х=φ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t) на отрезке α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β] 4. Если f(x) – нечетная функция, т. е. f(x)= f(x), то Если f(x) –четная функция, т. е. f(x)=f(x), то.
Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +бесконечности определяется равенством Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, расходящимися Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и непрерывна при а≤х
При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке , где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла, причем 2. 1 Если при х→+∞ функция f(x)≤ 0 является бесконечно малой порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл сходится при р>1 и расходится при р≤ 1. 2. 2 Если функция f(x)≥ 0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х
Вычисление площади плоской фигуры Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) , прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f 1(x) и у=f 2(x) и прямыми x=a и x=b находится по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком оси ОХ вычисляется по формуле где t 1 и t 2 определяются из уравнения а=х(t 1), b=х(t 2) Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α
Вычисление длины дуги плоской кривой Если кривая у=f(x) на отрезке – гладкая (т. е. производная у’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t 1 до t 2, вычисляется по формуле Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна.
Вычисление объема тела 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле Если фигура, ограниченная кривыми у1=f 1(x) и у2=f 2(x) и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен.
Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t 1≤t≤t 2), то.
Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x, y, y) = 0 или y = f(x, y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка. Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.
Общее решение дифференциального уравнения 1 го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x, C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x, y, C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1 го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.
Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при, называется задачей Коши для уравнения 1 го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через данную точку.
Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1 го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют.
Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.
Линейные уравнения 1 го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит у и у‘ в первой степени, т. е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.
Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1 го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки
Дифференциальные уравнения 2 го порядка Уравнение 2 го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.
Задача Коши для уравнения 2 го порядка Если уравнение 2 го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2 гопорядка.
Теорема существования и единственности решения уравнения 2 го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку, то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и.
Уравнения 2 го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2 го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение, не содержащее явно у, решают с помощью подстановки, Уравнение, не содержащее х, решают заменой, .
Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.
Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения, то и Су(х), где С константа, также является решением этого уравнения.
Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и решения уравнения, то функция также решение этого уравнения.
Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и, не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.
Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2 го порядка Если линейно независимые частные решения ЛОУ 2 го порядка, то их линейная комбинация где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Линейное однородное уравнение 2 го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения. Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.
лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. 6
Лекция 22
ТЕМА: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменн ы х
План.
- Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.
- Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.*
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. *
- Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.
Дифференцирование сложных функций
Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки z = f (x (u , v ), y (u , v )). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.
Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда
. (16. 1 )
Если же задать приращение только аргументу v , получим:
. (16. 2 )
Разделим обе части равенства (16. 1 ) на Δ u , а равенства (16. 2 ) на Δ v и перейдем к пределу соответственно при Δ u → 0 и Δ v → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,
(16. 3 )
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (43 ) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для:
(16. 4 )
Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f х. Используя формулу (16.4) при t = x и учитывая, что, получим, что
. (16. 5 )
Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.
Примеры.
- Пусть z = xy , где x = u ² + v , y = uv ². Найдем и. Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:
Тогда из формулы (16.3) получим:
(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).
- Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .
Инвариантность формы дифференциала
Воспользовавшись формулами (15.8) и (16. 3 ), выразим полный дифференциал функции
z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :
(16. 6 )
Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).
Неявные функции, условия их существования
Определение. Функция у от х , определяемая уравнением
F (x , y ) = 0 , (16.7 )
называется неявной функцией .
Конечно, далеко не каждое уравнение вида (16.7 ) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса
задает
у
как двузначную функцию от
х
:
для
Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:
Теорема 1 (без доказательства). Пусть:
- функция F (x , y ) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х 0 , у 0 ) ;
- F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
- при постоянном х F (x , y ) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у .
Тогда
а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (16.7 ) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;
б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;
в) функция f (x ) непрерывна.
Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .
Теорема
2
.
Пусть функция
у
от
х
задается неявно уравнением (16.7
), где функция
F
(x
,
y
)
удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того,
- непрерывные функции в некоторой области
D
, содержащей точку
(х,у),
координаты которой удовлетворяют уравнению (16.7
), причем в этой точке
. Тогда функция
у
от
х
имеет производную
(16.8
)
Доказательство.
Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у . Зададим х приращение Δ х , тогда функция y = f (x ) получит приращение Δ у . При этом F (x , y ) = 0, F (x + Δ x , y +Δ y ) = 0, поэтому F (x + Δ x , y +Δ y ) F (x , y ) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x , y ), которое можно представить в виде (15.5 ):
Разделив обе части полученного равенства на Δ
х
, выразим из него
:
.
В пределе при
, учитывая, что
и
, получим:
. Теорема доказана.
Пример. Найдем, если. Найдем, .
Тогда из формулы (16.8 ) получаем: .
Производные и дифференциалы высших порядков
Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:
Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:
Определение . Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n 1)-го порядка.
Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,).
Докажем это утверждение.
Теорема 3.
Если функция
z
=
f
(x
,
y
)
и ее частные производные
определены и непрерывны в точке
М (х, у)
и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
(16.9 )
Доказательство.
Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию. Тогда
Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [ x , x + Δ x ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где
[ x , x + Δ x ]. Но Так как в окрестности точки М определена, дифференцируема на отрезке [ y , y + Δ y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда
Изменим порядок слагаемых в выражении для А :
И введем другую вспомогательную функцию, тогда Проведя те же преобразования, что и для, получим, что где. Следовательно,
В силу непрерывности и. Поэтому, переходя к пределу при получаем, что, что и требовалось доказать.
Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.
Дифференциалы высших порядков
Определение . Дифференциалом второго порядка функции u = f (x , y , z ) называется
Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:
Определение . Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k 1): d k u = d (d k - 1 u ).
Свойства дифференциалов высших порядков
- k -й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):
- Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала
Пусть функция z = f (x , y ) является дифференцируемой в окрестности точки М (х 0 , у 0 ) . Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x , y ) с плоскостями у = у 0 и х = х 0 , которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x , y ). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {-,-, 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:
, (16.10 )
где z 0 = .
Определение. Плоскость, определяемая уравнением (16.10 ), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x , y ) в точке с координатами (х 0 , у 0 , z 0 ) .
Из формулы (15.6 ) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:
Или
(16.11 )
Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→ 0.
При этом дифференциал функции f имеет вид:
что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.
Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х 0 , у 0 ) поверхности z = f (x , y ) , называется нормалью к поверхности в этой точке.
В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор -- n = {,-1}.
z = f (x,y)
M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )
M (x 0 , y 0 )
Пример.
Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х 0 = у 0 = 1 z 0 = 1; . Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x 1) + (y 1), или x + y z 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.
Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N (1,01; 1,01).
Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z кас = (1,01 + 1,01 1) (1 + 1 1) = 0,02. Следовательно,
dz = Δ z кас = 0,02. При этом Δ z dz = 0,0001.
Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Как известно, функцию F (t ) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21), (2 5 )). Запишем эту формулу в дифференциальной форме:
(16.1 2 )
где
В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.
Рассмотрим функцию двух переменных f (x , y ) , имеющую в окрестности точки (х 0 , у 0 ) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δ х и Δ у и рассмотрим новую независимую переменную t :
(0 ≤ t ≤ 1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х 0 , у 0 ) и (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у ). Тогда вместо приращения Δ f (x 0 , y 0 ) можно рассматривать приращение вспомогательной функции
F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )
равное Δ F (0) = F (1) F (0). Но F (t ) является функцией одной переменной t , следовательно, к ней применима формула (16.1 2 ). Получаем:
Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть
Подставив эти выражения в (16.1 2 ), получим формулу Тейлора для функции двух переменных :
, (16.1 4 )
где 0< θ <1.
Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:
Производная по направлению. Градиент
Пусть функция u = f (x , y , z ) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M (x , y , z ) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα , cosβ , cosγ . На векторе S на расстоянии Δ s от его начала найдем точку М 1 (х+ Δ х, у+ Δ у, z + Δ z ), где
Представим полное приращение функции f в виде:
где
После деления на Δ s получаем:
.
Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:
(16.15 )
Определение. Предел отношения при называется производной от функции u = f (x , y , z ) по направлению вектора S и обозначается.
При этом из (16.1 5 ) получаем:
(16.1 6 )
Замечание 1 . Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:
.
Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0 ) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l .
Определение . Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x , y , z ) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x , y , z ).
Обозначение: grad u = .
Свойства градиента
- Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S .
Доказательство . Единичный вектор направления S имеет вид e S ={ cosα , cosβ , cosγ }, поэтому правая часть формулы (16.1 6 ) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.
- Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное | grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что
| grad u |∙ cosφ , (16.1 7 )
следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно | grad u |.
- Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.
Доказательство. В этом случае в формуле (16.17)
- Если z = f (x , y ) функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x , y ) = c , проходящей через данную точку.
афедра информатики и высшей математики КГПУ