Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы. Как найти радиус сферы Площадь боковой поверхности сферы

Перед тем, как смело броситься на амбразуру решения задачи по нахождению радиуса сферы, нужно узнать, что вообще такое сфера и шар. Стереометрия говорит нам, что сфера - это поверхность, состоящая из массы точек пространства, которые находятся на одном расстоянии от центра. Эта точка - центр сферы, а радиус сферы (R ) - это расстояние, на которое каждая точка удалена от центра сферы. Шар - это тело, которое ограничено поверхностью сферы.

Безусловно, способ определения того самого радиуса сферы будет зависеть от данных, которые у нас есть.

Способ 1. Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности

Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.

где S - это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14 .

Способ 2. Определение радиуса сферы при помощи объема шара

Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:

где V - это объём шара, число Пи = 3,14 .

Способ 3. Альтернативные формулы определения радиуса сферы

В случае, если наша сфера вписана в правильный многогранник или описана вокруг него, можно воспользоваться следующим рядом формул.

Формула 1. Сфера вписана в правильный тетраэдр

Для сферы, которая вписана в правильный тетраэдр:

где a

Формула 2. Сфера описана около правильного тетраэдра

Для сферы, которая описана около правильного тетраэдра:

где a - длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).

Формула 3. Сфера вписана в куб

Для сферы, которая вписана в куб:

где a - длина ребра куба.

Формула 4. Сфера описана около куба

Для сферы, которая описана около куба:

где a - длина ребра куба.

Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще

лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена - примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.

Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением

Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):

Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).

Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:

где - площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид - его объем Поэтому

Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:

Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть - объем многогранника - площадь его поверхности, V - объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S - ее площадь.

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о сфере). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом на форуме . В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.

Решение .
Площадь сферы найдем по формуле:

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы (180-60) / 2 = 60 , то есть все углы равны).

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть

Таким образом площадь сферы

S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2

Ответ : площадь сферы равна 4/3πl 2 .

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?

Решение .
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

Откуда площадь основания равна
S = πR 2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr 2

Соответственно площадь полусферы
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г

Задача

Решение. Рiшення .

	Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул Воспользуемся формулой нахождения поверхности шара и запишем ее для первого шара, предположив, что его радиус равен R 1 Площадь поверхности второго шара запишем с помощью точно такой же формулы, предположив, что его радиус равен R 2 Найдем соотношение их площадей, разделив первое выражение на второе. Сократим полученную дробь. Нетрудно заметить, что соотношение площадей двух шаров равно соотношению квадратов их радиусов. По условию задачи это соотношение равно m/n Из полученного равенства найдем соотношение радиусов шаров путем извлечения квадратного корня. Полученное равенство запомним Воспользуемся формулой нахождения объема шара и запишем ее для первого шара с радиусом R 1 Объем второго шара запишем с помощью той же самой формулы, подставив в нее радиус R 2	Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул Скористаємося формулою знаходження поверхні кулі і запишемо її для першої кулі, передбачивши, що його радіус рівний R 1 Площу поверхні другої кулі запишемо за допомогою точний такої ж формули, передбачивши, що його радіус рівний R 2 Знайдемо співвідношення їх площ, розділивши перше вираження на друге. Скоротимо отриманий дріб. Неважко відмітити, що співвідношення площ двох куль дорівнює співвідношенню квадратів їх радіусів. По умові завдання це співвідношення рівне m/n З отриманої рівності знайдемо співвідношення радіусів куль шляхом витягання квадратного кореня. Отриману рівність запам"ятаємо Скористаємося формулою знаходження об"єму кулі і запишемо її для першої кулі з радіусом R 1 Об"єм другої кулі запишемо за допомогою тієї ж самої формули, підставивши в неї радіус R 2
	8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга 9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный - это число в степени 1/2, преобразуем выражение 10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен .	8. Розділимо об"єми першої і другої кулі один на одного 9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об"єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворимо вираження 10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана .

Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей .

§ 92. Площадь сферы и ее частей.

Теорема 1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Сфера радиуса R может быть получена вращением вокруг оси Ох полуокружности, заданной уравнением

у = √R 2 - х 2 , х [- R; R ]

Тогда по формуле для площади поверхности вращения получаем

Аналогично выводится формула для площади сферического пояса, который получается вращением вокруг оси Ох дуги окружности (рис. 276) у = √R 2 - х 2 , х [a; b ].

Действительно,

Теорема 2. Площадь сферического пояса радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле

Формула (3) получается из формулы (2), так как Н = b - а .

Сферический сегмент можно получить вращением дуги окружности

у = √R 2 - х 2 , a < x < R

вокруг оси Ох . Следовательно, сферический сегмент есть частный случай сферического пояса (b = R).

Следствие. Площадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле (3).

3 а д а ч а. В сферу вписан куб с ребром а (рис. 277).

Найти площади:
а) сферы;
б) сферического пояса, отсекаемого плоскостями верхней и нижней граней куба;

а) Диагональ куба с ребром а равна √3 а . Следовательно, | АС 1 | = √3 а . С другой стороны, если R - радиус сферы, то | АС 1 | = 2R. Поэтому 2R = √3 а , т. е. R= √ 3 / 2 a .

По формуле (1) находим площадь S сферы: S = 4πR 2 = 4π 3 / 4 а 2 = 3π а 2 .

б) Высота сферического пояса в данном случае, очевидно, равна а . Положив в формуле (3) Н = а и R = √ 3 / 2 a , найдем площадь S 1 сферического пояса

S 1 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а 2 = π√3 а 2 .

в) Высота сферического сегмента равна длине отрезка O 1 K. Вычислим ее:

| О 1 К| = |OK| - |OO 1 | = R- a / 2 = √ 3 / 2 a - a / 2 = √ 3 -1 / 2 a

Положив в формуле (3) Н = √ 3 -1 / 2 a и R= √ 3 / 2 a , найдем площадь S 2 сферического сегмента:

S 2 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а √ 3 -1 / 2 a = π 3-√ 3 / 2 a 2

Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно, что в футбол играют мячом.

Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?

Важно!

Шар — это пространственное тело. Внутри шар чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.

Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.

Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.

Важно!

Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.

Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный теннис.

Как найти площадь сферы

Запомните!

Формула площади сферы: S = 4π R 2

Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить, что такое степень числа . Зная определение степени, можно записать формулу площади сферы следующим образом.
S = 4π R 2 = 4π R · R;

Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.

Зубарева 6 класс. Номер 692(а)

Условие задачи:

• Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 м

Важно!

Уважаемые родители!

При окончательном расчете радиуса не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся 6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.

В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.

Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст единицу.