Распространение теплоты теплопроводностью в плоской и цилиндрической стенках при стационарном режиме (граничные условия первого рода)

Однородная однослойная плоская стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в однородной однослойной плоской стенке толщиной 8 при ее неограниченной ширине и длине.

Ось х направим перпендикулярно стенке (рис. 7.4). По обеим поверхностям стенки как в направлении оси у, так и в направлении оси г благодаря равномерному подводу и отводу теплоты температуры распределены равномерно.

Поскольку стенка в направлении этих осей имеет бесконечно большие размеры, то соответствующие температурные градиенты Ж/йу = (к/(к = = 0, и, таким образом, влияние на процесс теплопроводности торцевых поверхностей стенки отсутствует. При этих упрощающих задачу условиях стационарное температурное поле является функцией только координаты х, т.е. рассматривается одномерная задача. Применительно к данному случаю дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид (при д^дх = 0)

Даны граничные условия первого рода:

Рис. 7.4.

Найдем уравнение температурного ноля и определим тепловой поток Ф, проходящий через участок стенки площадью А (на рис. 1Л стенка не обозначена, поскольку располагается в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка). Первое интегрирование дает

т.е. температурный градиент является величиной постоянной по всей толщине стенки.

После второго интегрирования получим искомое уравнение температурного поля

где а и Ь - постоянные интегрирования.

Таким образом, изменение температуры по толщине стенки следует линейному закону, а изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные граням стенки.

Для определения произвольных постоянных интегрирования используем граничные условия:

Так как? > ? СТ2 , то проекция градиента на ось х отрицательна, как

это и следовало ожидать при выбранном направлении оси, совпадающем с направлением вектора поверхностной плотности теплового потока.

Подставляя значение постоянных в (7.24), получим окончательное выражение для температурного ноля

Линия а-Ь на рис. 7.4, так называемая температурная кривая , показывает изменение температуры но толщине стенки.

Зная температурный градиент, можно, пользуясь уравнением Фурье (7.10), найти количество теплоты 8{), проходящей за время т через элемент площади поверхности??4, перпендикулярной оси т.

и для участка поверхности площадью А

Формула (7.28) для теплового потока и поверхностной плотности теплового потока примет вид

Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в многослойной плоской стенке, состоящей из нескольких (например, трех) плотно прилегающих друг к другу слоев (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5.

Очевидно, что в случае стационарного температурного поля тепловой поток, проходящий через поверхности одинаковой площади А, будет для всех слоев одним и тем же. Поэтому для каждого из слоев может быть использовано уравнение (7.29).

Для первого слоя

для второго и третьего слоев

где Х 2 , А 3 - теплопроводности слоев; 8 1? 8 2 , 8 3 - толщина слоев.

На наружных границах трехслойной стенки считаются известными температуры? Ст1 и? СТ4 . По плоскостям раздела слоев устанавливаются температуры? СТ2 и? СТз, которые рассматриваются как неизвестные. Уравнения (7.31)-(7.33) решим относительно разностей температур:

а затем почленно сложим и тем самым исключим неизвестные промежуточные температуры:

Обобщая (7.36) для гг-слойной стенки, получим

Для определения промежуточных температур? СТ2 , ? СТз по плоскостям разделов слоев используем формулы (7.34):

Наконец, обобщая вывод на и-слойную стенку, получим формулу для температуры на границе г-го и (г + 1)-го слоя:

Иногда пользуются понятием эквивалентной теплопроводности Я экв. Для поверхностной плотности теплового потока, проходящего сквозь плоскую многослойную стенку,

где - суммарная толщина всех слоев многослойной стенки. Сравнивая выражения (7.37) и (7.40), заключаем, что

На рис. 7.5 в виде ломаной линии изображен график изменения температуры по толщине многослойной стенки. В пределах слоя, как было доказано выше, изменение температуры следует линейному закону. Тангенс угла наклона ср, температурной прямой к горизонтали

т.е. равен абсолютному значению температурного градиента ^1"ас1 Таким образом, по наклону прямых аЬ, Ьс и с

Следовательно,

т.е. температурные градиенты для отдельных слоев многослойной плоской стенки обратно пропорциональны теплопроводностям этих слоев.

Это значит, что для получения больших температурных градиентов (что требуется, например, при изоляции паропроводов и т.п.) необходимы материалы с малыми значениями теплопроводности.

Однородная однослойная цилиндрическая стенка. Найдем для стационарного режима теплопроводности температурное поле и поверхностную плотность теплового потока для однородной однослойной цилиндрической стенки (рис. 7.6). Для решения поставленной задачи используем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах.

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы по сравнению с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси 2. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна? СТ1 , а на наружной поверхности - ? СТ2 (граничные условия первого рода). При этих упрощениях (к/ = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра?/?/?Лр = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур? = / (г), где г - текущий радиус цилиндрической стенки.

Рис. 7.6.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.19) при условии dt/d т = 0 примет вид

Введем новую переменную

которая является градиентом температур (grad ?).

Подставляя переменную и в (7.43), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

или

Интегрируя, получаем

Для цилиндрической стенки температурный градиент является величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса г. Следовательно, на внутренней поверхности температурный градиент больше, чем на наружной.

Подставляя значение и из (7.44) в (7.45), получаем и

где ап Ь - постоянные интегрирования.

Следовательно, кривая распределения температур по толщине стенки является логарифмической кривой (кривая а-Ь на рис. 7.6).

Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение температурного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внутренний радиус поверхности обозначим г х, наружный - г 2 . Соответствующие диаметры обозначим (1 Л и (1 2 . Тогда имеем систему уравнений

Решая данную систему уравнений, получаем

Уравнение температурного ноля примет вид Температурный градиент определяем но формуле (7.45):

Так как? СТ1 > ? СТ2 , а г, г 2 , то проекция grad? на радиус-вектор имеет отрицательное значение.

Последнее показывает, что для данного случая тепловой поток направлен от центра к периферии.

Для определения теплового потока, проходящего через участок цилиндрической поверхности длиной Ь, воспользуемся уравнением

Из (7.46) следует, что тепловой поток, проходящий сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наружного и внутреннего радиусов г 2 / г х (или диаметров с1 2 / (1 {), а не от толщины стенки.

Поверхностная плотность теплового потока для цилиндрической поверхности может быть найдена путем отнесения теплового потока Ф к площади внутренней поверхности А вп или к площади наружной поверхности А нп. В расчетах иногда используют линейную плотность теплового потока:

Из (7.47)-(7.49) следует

Многослойная цилиндрическая стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в трехслойной цилиндрической стенке (трубе) длиной А (рис. 7.7) с внутренним диаметром с1 х и наружным диаметром (1 Л. Промежуточные диаметры отдельных слоев - с1 2 и Х 2 , Х 3 .

Рис. 7.7.

Известными считаются температура? СТ) внутренней и температура? СТ4 наружной поверхности. Подлежит определению тепловой поток Ф и температуры? СТ2 и? СТз на границах слоев. Составим для каждого слоя уравнение вида (7.46):

Решая (7.51)-(7.53) относительно разностей температур, а затем почленно складывая, получим

Из (7.54) имеем расчетное выражение для определения теплового потока для трехслойной стенки:

Обобщим формулу (7.55) на и-слойную стенку трубы:
где i - порядковый номер слоя.

Из (7.51)-(7.53) находим выражение для определения температуры на границах промежуточных слоев:

Температуру? ст. +) на границе?-го и (г + 1)-го слоя можно определить по аналогичной формуле

В литературе приведены решения дифференциального уравнения теплопроводности для полого шара при граничных условиях первого рода, а также решения для всех рассмотренных тел при граничных условиях третьего рода. Мы эти проблемы не рассматриваем. За рамками нашего курса остались также вопросы стационарной теплопроводности в стержнях (ребрах) постоянного и переменного поперечных сечений, а также вопросы нестационарной теплопроводности.

Вопрос 23 чему равна удельная теплота плавления льда

Удельная теплота плавления находится по формуле:

где Q – это количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить тело массой m.

при отвердевании вещества выделяют такое же количество тепла, которое требовалось затратить на их расплавление. Молекулы, теряя энергию, образуют кристаллы, будучи не в силах сопротивляться притяжению других молекул. И опять-таки, температура тела не будет понижаться вплоть до того момента, пока не отвердеет все тело, и пока не выделится вся энергия, которая была затрачена на его плавление. То есть удельная теплота плавления показывает, как сколько надо затратить энергии, чтобы расплавить тело массой m, так и сколько энергии выделится при отвердевании данного тела.

Для примера, удельная теплота плавления воды в твердом состоянии, то есть, Удельная теплота плавления льда равна 3,4*10^5 Дж/кг

Удельная теплота плавления льда равна 3,4 умножить на 10 в 5 степени джоуль/кг

Обозначают удельную теплоту плавления греческой буквой λ (лямбда), а единицей измерения является 1 Дж/кг

Вопрос 24 Обозначим L1 – удельную теплоту парообразования, L2 – удельную теплоту плавления. Что больше?

Поскольку при парообразовании тело получает энергию, можно сделать вывод, что внутренняя энергия тела в газообразном состоянии больше, чем внутренняя энергия тела той же массы в жидком состоянии. Поэтому, при конденсации пар отдаёт то количество энергии, которое потребовалось для его образования

Удельная теплота парообразования – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в пар 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «r

Удельная теплота плавления – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в жидкость 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «λ » для различных веществ, как правило, различны. Они измерены опытным путём и занесены в специальные таблицы

Удельная теплота парообразования больше

Вопрос 25 дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного нестационарного температурного поля в декартовых координатах?

х i = x, y, z – декартовая система координат;

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0.

В этом случае поле называется двумерным и записывается:

для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);

для стационарного режима Т=Т(х, у).

Уравнения двухмерного температурного поля для режима

нестационарного:

Вопрос 26 дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного температурного поля в цилиндрических координатах?

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках данной расчетной области и во времени.

Температурное поле измеряют в градусах Цельсия и Кельвинах и обозначают также как и в ТТД: ,где х i - координаты точки в пространстве, в которой находят температуру, в метрах [м]; τ – время процесса теплообмена в секундах, [с]. Т. о. температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени.

В тепловых расчетах используют следующие системы координат:

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле, которое изменяетсяво времени , называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяетсяво времени , называют стационарным температурным полем.

цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

,

Страница 4

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Отоларингология лазер применение лазеров.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где qV - удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

Полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

· геометрическая форма и размеры тела,

· физические параметры среды и тела,

· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:1 4

Постановка задач ТМО

Имеем объем, на который воздействуют тепловые нагрузки необходимо определить численное значение q V и распределение ее по объему.

Рис.2-Внешние и внутренние источники трения

1. Определить геометрию исследуемого объема в любой выбранной системе координат.

2. Определить физические характеристики исследуемого объема.

3. Определить условия, инициирующие процесс ТМО.

4. Уточнить законы, определяющие перенос тепла в исследуемом объеме.

5. Определить начальное тепловое состояние в исследуемом объеме.

Задачи, решаемые при анализе ТМО:

1.«Прямые» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,4,5

Определить: распределение температур в пространстве и во времени (далее 6).

2.«Обратные» задачи ТМО (инверсные):

а) обратные граничные задачи

Дано: 1,2,4,5,6

Определить: 3;

б) обратные коэффициенты задачи

Дано: 1,3,4,5,6

Определить: 2;

в) обратная ретроспективная задача

Дано: 1,2,3,4,6

Определить: 5.

3.«Индуктивные» задачи ТМО

Дано: 1,2,3,5,6

Определить: 4.

ФОРМЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Различают 3 формы переноса тепла:

1) теплопроводность в твердых телах (определяется микрочастицами, а в металлах свободными электронами);

2) конвекция (определяется макрочастицами подвижной среды);

3) тепловое излучение (определяется электромагнитными волнами).

Теплопроводность твердых тел

Общие понятия

Поле температур – это совокупность значений температуры в исследуемом объеме, взятая в некоторый момент времени.

t(x, y, z, τ) - функция, определяющая поле температур.

Различают стационарное и нестационарное поле температур:

стационарное - t(x,y,z);

нестационарное - t(x, y, z, τ) .

Условием стационарности является:

Возьмем некое тело и соединим точки с равными температурами

Рис.3-Градиент температур и тепловой поток

grad t - градиент температуры;

с другой стороны: .

Закон Фурье ‑ тепловой поток в твердых телах пропорционален градиенту температуры, поверхности, через которую он проходит и рассматриваемому интервалу времени.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности λ , Вт/м·К.

показывает, что тепло распространяется в направлении, противоположном вектору градиента температур.

;

Для бесконечно малой поверхности и промежутка времени:

Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

Рассмотрим бесконечно малый объем: dv =dx ·dy ·dz

Рис.4-Тепловое состояние бесконечно малого объёма

Имеем ряд Тейлора:

Аналогично:

; ; .

В общем случае имеем в кубике q V . В основе вывода лежит обобщенный закон сохранения энергии:

.

В соответствии с законом Фурье:

; ; .

После преобразований имеем:

.

Для стационарного процесса:

Пространственная мерность задач определяется количеством направлений, в которых происходит перенос тепла.

Одномерная задача: ;

для стационарного процесса: ;

для :

для : ;

a - коэффициент температуропроводности, .декартова система;

k = 1 , ξ = x - цилиндрическая система;

k = 2 , ξ = x - сферическая система.

Условия однозначности

Условие однозначности – это условия, позволяющее выделить из множества допустимых решений одно-единственное, соответствующее поставленной задаче.

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты (= 0) :

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид

Условия однозначности для процессов теплопроводности . Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;

Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):

Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности

тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м 2 ×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:

где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:

Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).

Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме